Номер 708, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

708. Найдите объем шарового сегмента, учитывая, что площадь его основания равна $M$, а площадь боковой поверхности — $S$.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $R$ — радиус шара, $h$ — высота шарового сегмента, $r$ — радиус основания сегмента. Объем шарового сегмента, который нам нужно найти, обозначим как $V$.

По условию, площадь основания сегмента (круга радиуса $r$) равна $M$, а площадь боковой (сферической) поверхности равна $S$. Запишем соответствующие формулы:

$M = \pi r^2$

$S = 2 \pi R h$

Объем шарового сегмента можно вычислить по одной из двух формул. Удобнее использовать ту, что связывает объем с радиусом основания $r$ и высотой $h$:

$V = \frac{1}{6} \pi h (3r^2 + h^2)$

Наша цель — выразить $V$ через заданные величины $M$ и $S$. Для этого нам нужно найти $r$ и $h$ (или их степени) через $M$ и $S$.

1. Из формулы для площади основания выразим $r^2$:

$r^2 = \frac{M}{\pi}$

2. Величины $R$, $r$ и $h$ связаны между собой. Если рассмотреть осевое сечение шара, то по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами $r$ и $(R-h)$ и гипотенузой $R$ получим:

$R^2 = r^2 + (R-h)^2$

$R^2 = r^2 + R^2 - 2Rh + h^2$

Отсюда следует важное соотношение:

$2Rh = r^2 + h^2$

3. Теперь используем формулу для площади боковой поверхности $S=2 \pi R h$. Заменим в ней $2Rh$ на $r^2 + h^2$:

$S = \pi(2Rh) = \pi(r^2 + h^2)$

4. В полученное выражение $S = \pi(r^2 + h^2)$ подставим $r^2 = \frac{M}{\pi}$:

$S = \pi(\frac{M}{\pi} + h^2) = M + \pi h^2$

5. Из соотношения $S = M + \pi h^2$ выразим $h^2$, а затем и $h$:

$\pi h^2 = S - M$

$h^2 = \frac{S-M}{\pi}$

$h = \sqrt{\frac{S-M}{\pi}}$

(Это также показывает, что для существования сегмента должно выполняться условие $S \ge M$, так как $h^2$ не может быть отрицательным).

6. Теперь у нас есть все необходимые компоненты для вычисления объема. Подставим выражения для $h$, $r^2$ и $h^2$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{6} \pi h (3r^2 + h^2) = \frac{1}{6} \pi \left(\sqrt{\frac{S-M}{\pi}}\right) \left(3 \frac{M}{\pi} + \frac{S-M}{\pi}\right)$

Упростим вторую скобку:

$3 \frac{M}{\pi} + \frac{S-M}{\pi} = \frac{3M + S - M}{\pi} = \frac{S+2M}{\pi}$

Подставим результат обратно в выражение для объема:

$V = \frac{1}{6} \pi \sqrt{\frac{S-M}{\pi}} \cdot \frac{S+2M}{\pi}$

Проведем дальнейшие упрощения:

$V = \frac{1}{6} \pi \frac{\sqrt{S-M}}{\sqrt{\pi}} \frac{S+2M}{\pi} = \frac{1}{6} \frac{\pi \sqrt{S-M} (S+2M)}{\pi \sqrt{\pi}} = \frac{(S+2M)\sqrt{S-M}}{6\sqrt{\pi}}$

Полученное выражение можно записать и в другом виде:

$V = \frac{S+2M}{6} \sqrt{\frac{S-M}{\pi}}$

Ответ: $V = \frac{S+2M}{6} \sqrt{\frac{S-M}{\pi}}$