Номер 709, страница 102 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

709. Плоскость разделяет шар на части с объемами $720\pi \text{ см}^3$ и $252\pi \text{ см}^3$.

Найдите площадь каждой части соответствующей сферы.

Плоскость, пересекающая шар, делит его на два шаровых сегмента. Объемы этих сегментов даны в условии: $V_1 = 720\pi \text{ см}^3$ и $V_2 = 252\pi \text{ см}^3$. Задача состоит в том, чтобы найти площади соответствующих этим сегментам частей сферы (сферических шапок).

1. Нахождение объема и радиуса шара.

Полный объем шара $V$ равен сумме объемов его частей:
$V = V_1 + V_2 = 720\pi + 252\pi = 972\pi \text{ см}^3$.

Формула объема шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, где $R$ – радиус шара. Найдем радиус $R$, подставив значение объема:
$972\pi = \frac{4}{3}\pi R^3$
Разделим обе части на $\pi$ и умножим на $\frac{3}{4}$:
$R^3 = 972 \cdot \frac{3}{4} = 243 \cdot 3 = 729$
$R = \sqrt[3]{729} = 9 \text{ см}$.

2. Нахождение высот шаровых сегментов.

Площадь поверхности сферической шапки зависит от ее высоты $h$. Высоту можно найти, используя формулу объема шарового сегмента: $V_{сег} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$.

Найдем высоту меньшего сегмента $h_2$, объем которого $V_2 = 252\pi \text{ см}^3$, подставив известные значения $R=9$ и $V_2$:
$252\pi = \pi h_2^2 (9 - \frac{h_2}{3})$
$252 = 9h_2^2 - \frac{h_2^3}{3}$
Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби, и перенесем все члены в одну сторону:
$756 = 27h_2^2 - h_2^3$
$h_2^3 - 27h_2^2 + 756 = 0$

Это кубическое уравнение. Решим его методом подбора, проверяя целые делители свободного члена (756). Так как это меньший сегмент, его высота $h_2$ должна быть меньше радиуса $R=9$. Проверим $h_2=6$:
$6^3 - 27 \cdot 6^2 + 756 = 216 - 27 \cdot 36 + 756 = 216 - 972 + 756 = 972 - 972 = 0$.
Корень найден верно, следовательно, высота меньшего сегмента $h_2 = 6 \text{ см}$.

Сумма высот двух сегментов, на которые плоскость делит шар, равна диаметру шара: $h_1 + h_2 = 2R$.
Найдем высоту большего сегмента $h_1$:
$h_1 = 2R - h_2 = 2 \cdot 9 - 6 = 18 - 6 = 12 \text{ см}$.

3. Нахождение площадей частей сферы.

Части поверхности сферы, отсекаемые плоскостью, называются сферическими шапками. Площадь поверхности сферической шапки вычисляется по формуле $S = 2\pi R h$.

Найдем площадь большей части сферы $S_1$, соответствующей шаровому сегменту с высотой $h_1 = 12 \text{ см}$:
$S_1 = 2\pi R h_1 = 2\pi \cdot 9 \cdot 12 = 216\pi \text{ см}^2$.

Найдем площадь меньшей части сферы $S_2$, соответствующей шаровому сегменту с высотой $h_2 = 6 \text{ см}$:
$S_2 = 2\pi R h_2 = 2\pi \cdot 9 \cdot 6 = 108\pi \text{ см}^2$.

Проверка: сумма площадей двух частей должна быть равна полной площади поверхности сферы $S_{полн} = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 9^2 = 324\pi \text{ см}^2$.
$S_1 + S_2 = 216\pi + 108\pi = 324\pi \text{ см}^2$. Проверка подтверждает правильность расчетов.

Ответ: $216\pi \text{ см}^2$ и $108\pi \text{ см}^2$.