Номер 703, страница 101 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

703*. В цилиндре с радиусом основания $R$ размещено $n$ равных шаров так, что каждый из них касается боковой поверхности цилиндра, его основания и двух соседних шаров. Еще один такой шар касается каждого из этих $n$ шаров и плоскости другого основания. Найдите объем цилиндра.

Обозначим радиус каждого из $n+1$ равных шаров как $r$. Объем цилиндра $V$ вычисляется по формуле $V = \pi R^2 H$, где $R$ – заданный радиус основания, а $H$ – высота цилиндра. Для нахождения объема необходимо выразить $H$ через $R$ и $n$.

Сначала найдем радиус шаров $r$. Рассмотрим $n$ шаров, которые касаются нижнего основания цилиндра. Их центры находятся в одной плоскости, параллельной основанию, на расстоянии $r$ от него. Так как каждый из этих шаров касается боковой поверхности цилиндра, расстояние от оси цилиндра до центра каждого шара равно $R - r$. Проекции центров этих $n$ шаров на плоскость основания образуют вершины правильного $n$-угольника. Радиус описанной окружности этого $n$-угольника равен $R - r$. Поскольку каждый шар касается двух соседних, расстояние между центрами двух соседних шаров равно $2r$, что является длиной стороны этого $n$-угольника.

Рассмотрим равнобедренный треугольник, образованный центром $n$-угольника и центрами двух соседних шаров. Его боковые стороны равны $R-r$, основание — $2r$, а угол при вершине в центре $n$-угольника равен $\frac{2\pi}{n}$. Разделив этот треугольник высотой пополам, получим два прямоугольных треугольника. В каждом из них гипотенуза равна $R-r$, катет, противолежащий углу $\frac{\pi}{n}$, равен $r$. Отсюда следует тригонометрическое соотношение:$\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = \frac{r}{R-r}$Из этого уравнения выразим $r$ через $R$ и $n$:$(R-r)\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = r \implies R\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) = r\left(1 + \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right) \implies r = R \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{1 + \sin(\frac{\pi}{n})}$.

Теперь найдем высоту цилиндра $H$. Центры нижних $n$ шаров находятся на высоте $r$ от нижнего основания. Верхний шар касается верхнего основания, поэтому его центр находится на высоте $H-r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются центр верхнего шара (лежащий на оси цилиндра), центр одного из нижних шаров и проекция центра нижнего шара на ось цилиндра. Горизонтальный катет этого треугольника равен $R-r$, вертикальный катет равен разности высот центров $(H-r) - r = H-2r$. Гипотенуза — это расстояние между центрами касающихся шаров, равное $2r$. По теореме Пифагора:$(R-r)^2 + (H-2r)^2 = (2r)^2$

Для существования действительного решения для $H$ необходимо, чтобы подкоренное выражение при его нахождении было неотрицательным: $(2r)^2 - (R-r)^2 \ge 0$, что эквивалентно $2r \ge R-r$ (поскольку радиусы положительны), или $3r \ge R$. Подставим найденное ранее выражение для $r$:$3 R \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{1 + \sin(\frac{\pi}{n})} \ge R \implies 3\sin(\frac{\pi}{n}) \ge 1 + \sin(\frac{\pi}{n}) \implies 2\sin(\frac{\pi}{n}) \ge 1 \implies \sin(\frac{\pi}{n}) \ge \frac{1}{2}$. Так как шары образуют многоугольник, $n \ge 3$. Угол $\frac{\pi}{n}$ лежит в интервале $(0, \frac{\pi}{3}]$. В этом интервале условие $\sin(\frac{\pi}{n}) \ge \frac{1}{2}$ выполняется при $\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{n} \le \frac{\pi}{3}$, что означает $3 \le n \le 6$. Следовательно, описанная в задаче конфигурация возможна только при $n \in \{3, 4, 5, 6\}$.

Выразим $H$ из уравнения Пифагора. Так как верхний шар расположен над нижними ($H-r > r$), то $H > 2r$, и мы берем положительное значение корня:$H-2r = \sqrt{4r^2 - (R-r)^2} \implies H = 2r + \sqrt{4r^2 - (R-r)^2}$. Для упрощения подставим в это выражение соотношение $R-r = \frac{r}{\sin(\frac{\pi}{n})}$:$H = 2r + \sqrt{4r^2 - \frac{r^2}{\sin^2(\frac{\pi}{n})}} = r\left(2 + \frac{\sqrt{4\sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}}{\sin(\frac{\pi}{n})}\right)$. Теперь подставим выражение для $r$ через $R$ и $n$:$H = \left(R \frac{\sin(\frac{\pi}{n})}{1 + \sin(\frac{\pi}{n})}\right) \cdot \left(\frac{2\sin(\frac{\pi}{n}) + \sqrt{4\sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}}{\sin(\frac{\pi}{n})}\right) = R \frac{2\sin(\frac{\pi}{n}) + \sqrt{4\sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}}{1 + \sin(\frac{\pi}{n})}$.

Наконец, вычислим объем цилиндра $V = \pi R^2 H$:$V = \pi R^2 \cdot R \frac{2\sin(\frac{\pi}{n}) + \sqrt{4\sin^2(\frac{\pi}{n}) - 1}}{1 + \sin(\frac{\pi}{n})}$.

Ответ: $V = \frac{\pi R^3 \left(2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) + \sqrt{4\sin^2\left(\frac{\pi}{n}\right) - 1}\right)}{1 + \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)}$. Эта формула справедлива для $n \in \{3, 4, 5, 6\}$, так как только при этих целых значениях $n$ возможна описанная в задаче конфигурация шаров.