Номер 697, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

697. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с радиусом 15 см и углом 216°. Найдите, на каком расстоянии от вершины проведена плоскость, учитывая, что в полученный усеченный конус можно вписать шар.

Для решения задачи сначала найдем параметры исходного конуса, используя данные его развертки. Затем, используя условие возможности вписать шар в усеченный конус, составим уравнение и найдем искомое расстояние.

1. Нахождение параметров исходного конуса

Разверткой боковой поверхности конуса является сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $L$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса $C$.

По условию, радиус сектора $L = 15$ см, а его центральный угол $\alpha = 216^\circ$.

Длина дуги сектора вычисляется по формуле: $C = \frac{2\pi L \alpha}{360^\circ}$.

Длина окружности основания конуса с радиусом $R$ равна $C = 2\pi R$.

Приравняем эти два выражения для $C$:

$2\pi R = \frac{2\pi L \alpha}{360^\circ}$

Отсюда можем найти радиус основания конуса $R$:

$R = L \cdot \frac{\alpha}{360^\circ} = 15 \cdot \frac{216}{360} = 15 \cdot \frac{3}{5} = 9$ см.

Теперь найдем высоту исходного конуса $H$. В осевом сечении конуса образующая $L$, радиус $R$ и высота $H$ образуют прямоугольный треугольник, где $L$ — гипотенуза. По теореме Пифагора:

$H^2 + R^2 = L^2$

$H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$ см.

2. Использование условия вписанного шара и подобия конусов

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус (сверху) и образует усеченный конус (снизу). Пусть искомое расстояние от вершины до секущей плоскости равно $h$ — это высота малого конуса. Пусть радиус основания малого конуса равен $r$, а его образующая — $l_1$.

Условием того, что в усеченный конус можно вписать шар, является равенство его образующей сумме радиусов оснований. Образующая усеченного конуса равна $L - l_1$. Радиусы оснований — $R$ и $r$. Таким образом, получаем условие:

$L - l_1 = R + r$

Малый конус, отсеченный плоскостью, подобен исходному конусу. Коэффициент подобия можно выразить через отношение высот, радиусов или образующих:

$\frac{h}{H} = \frac{r}{R} = \frac{l_1}{L}$

Выразим $r$ и $l_1$ через искомую высоту $h$ и известные параметры исходного конуса ($H=12$, $R=9$, $L=15$):

$r = R \cdot \frac{h}{H} = 9 \cdot \frac{h}{12} = \frac{3}{4}h$

$l_1 = L \cdot \frac{h}{H} = 15 \cdot \frac{h}{12} = \frac{5}{4}h$

3. Расчет искомого расстояния

Подставим полученные выражения для $r$ и $l_1$ в условие вписанного шара:

$L - l_1 = R + r$

$15 - \frac{5}{4}h = 9 + \frac{3}{4}h$

Теперь решим это уравнение относительно $h$:

$15 - 9 = \frac{3}{4}h + \frac{5}{4}h$

$6 = \frac{8}{4}h$

$6 = 2h$

$h = 3$ см.

Следовательно, плоскость проведена на расстоянии 3 см от вершины конуса.

Ответ: 3 см.