Номер 692, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

692. Около шара с радиусом $R$ описан конус, у которого три образующие попарно перпендикулярны. Найдите полную поверхность конуса.

Пусть $l$ — длина образующей конуса, $r$ — радиус его основания, $h$ — высота, а $\alpha$ — половина угла при вершине в осевом сечении конуса (полувертикальный угол).

Полная поверхность конуса вычисляется по формуле:$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (r+l)$

Условие о существовании трех попарно перпендикулярных образующих однозначно определяет форму конуса, а именно его полувертикальный угол $\alpha$. Если в вершине конуса можно провести три взаимно перпендикулярных образующих, то угол между любой из этих образующих и осью конуса $\alpha$ удовлетворяет соотношению $\tan^2 \alpha = 2$.

Докажем это. Пусть вершина конуса $S$ находится в начале координат, а его ось совпадает с осью $Oz$. Тогда вектор любой образующей можно записать как $\vec{g} = (l \sin\alpha \cos\varphi, l \sin\alpha \sin\varphi, l \cos\alpha)$. Чтобы три образующих $\vec{g_1}, \vec{g_2}, \vec{g_3}$ были попарно перпендикулярны, их скалярные произведения должны быть равны нулю. Например, $\vec{g_1} \cdot \vec{g_2} = 0$.$l^2(\sin^2\alpha \cos\varphi_1 \cos\varphi_2 + \sin^2\alpha \sin\varphi_1 \sin\varphi_2 + \cos^2\alpha) = 0$$\sin^2\alpha (\cos\varphi_1 \cos\varphi_2 + \sin\varphi_1 \sin\varphi_2) + \cos^2\alpha = 0$$\sin^2\alpha \cos(\varphi_1 - \varphi_2) + \cos^2\alpha = 0$$\cos(\varphi_1 - \varphi_2) = -\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = -\cot^2\alpha$. Для симметричного расположения трех образующих углы между их проекциями на основание должны быть $120^\circ$. Тогда $\cos(120^\circ) = -1/2$. Следовательно, $-\cot^2\alpha = -1/2$, откуда $\cot^2\alpha = 1/2$ и $\tan^2\alpha = 2$. Тогда $\tan \alpha = \sqrt{2}$.

Теперь найдем связь между радиусом вписанного шара $R$ и параметрами конуса. Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, в который вписана окружность радиуса $R$. Для такого сечения верна формула, связывающая радиус вписанной окружности с элементами конуса: $R(l+r) = rh$.

Выразим все параметры конуса через высоту $h$:$r = h \tan \alpha = h\sqrt{2}$.$l = \sqrt{h^2+r^2} = \sqrt{h^2 + (h\sqrt{2})^2} = \sqrt{h^2+2h^2} = \sqrt{3h^2} = h\sqrt{3}$.

Подставим эти выражения в формулу $R(l+r) = rh$:$R(h\sqrt{3} + h\sqrt{2}) = (h\sqrt{2}) \cdot h$$R h (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = h^2 \sqrt{2}$Поскольку $h \neq 0$, можем разделить обе части на $h$:$R(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = h\sqrt{2}$Отсюда выразим высоту $h$:$h = \frac{R(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{\sqrt{2}} = R \frac{\sqrt{6}+2}{2}$.

Теперь найдем $r$ и $l$, выраженные через $R$:$r = h\sqrt{2} = R \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = R(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.$l = h\sqrt{3} = R \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{3} = R \frac{3+\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = R \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{12}}{2} = R \frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2}$.

Наконец, вычислим полную поверхность конуса $S_{полн} = \pi r (r+l)$. Сначала найдем сумму $r+l$:$r+l = R(\sqrt{3}+\sqrt{2}) + R \frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2} = R \left( \frac{2(\sqrt{3}+\sqrt{2}) + 3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2} \right) = R \left( \frac{2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{2} \right) = R \left( \frac{4\sqrt{3}+5\sqrt{2}}{2} \right)$.

Теперь подставим $r$ и $r+l$ в формулу площади:$S_{полн} = \pi \cdot R(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \cdot R \left( \frac{4\sqrt{3}+5\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\pi R^2}{2} (\sqrt{3}+\sqrt{2})(4\sqrt{3}+5\sqrt{2})$. Раскроем скобки:$(\sqrt{3}+\sqrt{2})(4\sqrt{3}+5\sqrt{2}) = \sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 5\sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 4\sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} = 4 \cdot 3 + 5\sqrt{6} + 4\sqrt{6} + 5 \cdot 2 = 12 + 9\sqrt{6} + 10 = 22 + 9\sqrt{6}$.

Таким образом, полная поверхность конуса равна:$S_{полн} = \frac{\pi R^2}{2} (22 + 9\sqrt{6}) = \pi R^2 (11 + \frac{9\sqrt{6}}{2})$.

Ответ: $S_{полн} = \pi R^2 (11 + \frac{9\sqrt{6}}{2})$.