Номер 687, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

687. В правильной треугольной пирамиде ребро основания равно $a$, центр вписанного шара разделяет ее высоту в отношении 3 : 1 (рис. 223). Найдите боковое ребро пирамиды.

Рис. 223

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основание $ABC$ — правильный треугольник со стороной $a$. Пусть $SO$ — высота пирамиды, где $O$ — центр основания $ABC$. Центр вписанного шара, обозначим его $I$, лежит на высоте $SO$.

По условию, центр вписанного шара делит высоту в отношении $3:1$, считая от вершины. Это означает, что $SI : IO = 3 : 1$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему боковой грани $SM$, где $M$ — середина стороны $BC$. Сечением является прямоугольный треугольник $SOM$ (с прямым углом $O$).

Центр вписанного шара $I$ является точкой пересечения биссекторных плоскостей двугранных углов пирамиды. Следовательно, в треугольнике $SOM$ отрезок $MI$ является биссектрисой угла $SMO$.

По свойству биссектрисы угла в треугольнике $SOM$ имеем отношение:

$\frac{SI}{IO} = \frac{SM}{OM}$

Так как по условию $\frac{SI}{IO} = \frac{3}{1} = 3$, то и $\frac{SM}{OM} = 3$, откуда $SM = 3 \cdot OM$.

Найдем $OM$. Точка $O$ является центром правильного треугольника $ABC$, поэтому $OM$ — это радиус вписанной в него окружности. Радиус вписанной в правильный треугольник окружности со стороной $a$ равен:

$OM = r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Теперь найдем длину апофемы $SM$:

$SM = 3 \cdot OM = 3 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Из прямоугольного треугольника $SOM$ по теореме Пифагора найдем высоту пирамиды $SO = H$:

$H^2 = SO^2 = SM^2 - OM^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{3a^2}{36} = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{12} = \frac{9a^2 - a^2}{12} = \frac{8a^2}{12} = \frac{2a^2}{3}$

$H = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$

Для нахождения бокового ребра (например, $SA$) рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. $OA$ — это радиус описанной около основания $ABC$ окружности.

$OA = R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

По теореме Пифагора для треугольника $SOA$:

$SA^2 = SO^2 + OA^2 = H^2 + R^2$

$SA^2 = \left(\frac{a\sqrt{6}}{3}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{6a^2}{9} + \frac{3a^2}{9} = \frac{9a^2}{9} = a^2$

Следовательно, $SA = a$.

Ответ: $a$.