Номер 688, страница 100 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

688. В треугольной пирамиде противоположные ребра попарно равны. Докажите, что вписанный и описанный шары имеют общий центр.

Пусть дан тетраэдр $ABCD$, в котором противоположные ребра попарно равны: $AB = CD$, $AC = BD$ и $AD = BC$. Такой тетраэдр называется равногранным, так как все его четыре грани являются равными между собой треугольниками (по трем сторонам). Необходимо доказать, что центры вписанной и описанной сфер этого тетраэдра совпадают.

Доказательство основано на свойстве симметрии равногранного тетраэдра.

1. Свойства бимедианы тетраэдра
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер. Рассмотрим бимедиану $MN$, где $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $CD$. Докажем, что $MN$ является общим перпендикуляром к ребрам $AB$ и $CD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCD$. По условию $AC=BD$, $AD=BC$, а сторона $CD$ у них общая. Следовательно, $\triangle ACD \cong \triangle BCD$ по трем сторонам. В равных треугольниках медианы, проведенные к соответствующим сторонам, равны. Медианы $AN$ и $BN$, проведенные из вершин $A$ и $B$ к середине стороны $CD$, равны: $AN = BN$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ANB$. Так как $AN = BN$, он является равнобедренным с основанием $AB$. Отрезок $MN$ соединяет вершину $N$ с серединой основания $M$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Следовательно, $MN \perp AB$.

Аналогично, рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. По условию $AC=BD$, $BC=AD$, а сторона $AB$ у них общая. Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle ABD$. Медианы $CM$ и $DM$, проведенные из вершин $C$ и $D$ к середине стороны $AB$, равны: $CM = DM$.

Рассмотрим треугольник $\triangle CMD$. Так как $CM = DM$, он является равнобедренным с основанием $CD$. Отрезок $MN$ соединяет вершину $M$ с серединой основания $N$. Следовательно, $MN$ является медианой и высотой, то есть $MN \perp CD$.

Таким образом, бимедиана $MN$ перпендикулярна скрещивающимся ребрам $AB$ и $CD$.

2. Симметрия тетраэдра
Рассмотрим поворот на $180^\circ$ вокруг прямой $MN$ как оси.

• Поскольку ось $MN$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ему, при повороте на $180^\circ$ точка $A$ перейдет в точку $B$, а точка $B$ — в точку $A$.
• Аналогично, поскольку ось $MN$ проходит через середину $N$ отрезка $CD$ и перпендикулярна ему, точка $C$ перейдет в точку $D$, а точка $D$ — в точку $C$.

Этот поворот отображает множество вершин тетраэдра $\{A, B, C, D\}$ на себя, а значит, и сам тетраэдр $ABCD$ переходит в себя. Прямая $MN$ является осью симметрии тетраэдра. Аналогичные оси симметрии существуют для двух других пар скрещивающихся ребер.

3. Положение центра описанной сферы ($O_{circ}$)
Описанная сфера тетраэдра — это единственная сфера, проходящая через все четыре его вершины. Любое преобразование симметрии тетраэдра является также преобразованием симметрии для его описанной сферы.

Поскольку тетраэдр $ABCD$ симметричен относительно оси $MN$, его описанная сфера также должна быть симметрична относительно этой оси. Это возможно только в том случае, если центр сферы лежит на оси симметрии. Следовательно, центр описанной сферы $O_{circ}$ лежит на бимедиане $MN$.

Повторяя рассуждения для двух других бимедиан, мы заключаем, что $O_{circ}$ должен лежать на каждой из них. Три бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке, которая является его центроидом. Таким образом, центр описанной сферы совпадает с центроидом тетраэдра.

4. Положение центра вписанной сферы ($O_{in}$)
Вписанная сфера тетраэдра — это единственная сфера, касающаяся всех четырех его граней. Как и в случае с описанной сферой, любое преобразование симметрии тетраэдра является преобразованием симметрии для его вписанной сферы.

Следовательно, вписанная сфера также симметрична относительно оси $MN$, а ее центр $O_{in}$ должен лежать на этой оси. Аналогично, центр вписанной сферы должен лежать и на двух других бимедианах. Следовательно, центр вписанной сферы $O_{in}$ также совпадает с точкой пересечения бимедиан — центроидом тетраэдра.

5. Вывод
Поскольку и центр описанной сферы $O_{circ}$, и центр вписанной сферы $O_{in}$ совпадают с одной и той же точкой — центроидом тетраэдра, то они совпадают между собой.

Ответ: Что и требовалось доказать.