Номер 685, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

685. Двугранные углы при основании пирамиды равны между собой. Докажите, что в такую пирамиду можно вписать шар и центр этого шара находится на высоте пирамиды.

Пусть $S$ – вершина пирамиды, основанием которой является многоугольник $A_1A_2...A_n$. Пусть $SH$ – высота пирамиды, где $H$ – проекция вершины $S$ на плоскость основания.

По условию задачи, все двугранные углы при ребрах основания равны. Обозначим величину этих углов через $\alpha$.

Для определения линейного угла двугранного угла при ребре $A_iA_{i+1}$ проведем следующие построения. Из точки $H$ опустим перпендикуляр $HK_i$ на ребро $A_iA_{i+1}$. Таким образом, $HK_i \perp A_iA_{i+1}$. Так как $SH$ – высота, то $SH$ перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $HK_i$. Отрезок $HK_i$ является проекцией наклонной $SK_i$ на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной перпендикулярна прямой в плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $SK_i \perp A_iA_{i+1}$.

Поскольку $HK_i \perp A_iA_{i+1}$ и $SK_i \perp A_iA_{i+1}$, угол $\angle SK_iH$ является линейным углом двугранного угла при ребре $A_iA_{i+1}$. По условию, все такие углы равны: $\angle SK_1H = \angle SK_2H = ... = \angle SK_nH = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SHK_1, \triangle SHK_2, ..., \triangle SHK_n$. У них общий катет $SH$ и равные острые углы $\angle SK_iH = \alpha$. Следовательно, все эти треугольники равны по катету и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов: $HK_1 = HK_2 = ... = HK_n$.

Так как отрезки $HK_i$ являются перпендикулярами, опущенными из точки $H$ на стороны основания, то равенство их длин означает, что точка $H$ (основание высоты пирамиды) равноудалена от всех сторон многоугольника в основании. Это означает, что в основание пирамиды можно вписать окружность, и ее центром является точка $H$.

Теперь докажем, что в пирамиду можно вписать шар. Шар можно вписать в многогранник, если существует точка, равноудаленная от всех его граней. Эта точка будет центром шара. Множество точек, равноудаленных от двух пересекающихся плоскостей, является биссекторной плоскостью двугранного угла между ними. Следовательно, центр вписанного шара должен лежать в точке пересечения всех биссекторных плоскостей двугранных углов пирамиды.

Рассмотрим биссекторные плоскости двугранных углов при основании. Биссекторная плоскость угла при ребре $A_iA_{i+1}$ содержит биссектрису его линейного угла $\angle SK_iH$. Эта биссектриса лежит в плоскости $\triangle SHK_i$. Так как $\angle SHK_i = 90^\circ$, биссектриса угла $\angle SK_iH$ пересечет противолежащий катет $SH$ в некоторой точке $O$.

Для точки $O$, лежащей на высоте $SH$, в прямоугольном треугольнике $\triangle OHK_i$ угол $\angle OK_iH = \alpha/2$. Из этого треугольника имеем: $OH = HK_i \cdot \tan(\alpha/2)$.

Поскольку мы доказали, что длины всех отрезков $HK_i$ равны (это радиус вписанной в основание окружности), и угол $\alpha$ по условию один и тот же для всех граней, то величина $OH$ не зависит от выбора боковой грани. Это означает, что биссектрисы всех линейных углов двугранных углов при основании пересекают высоту $SH$ в одной и той же точке $O$.

Эта точка $O$ лежит на высоте пирамиды и по построению находится в биссекторных плоскостях всех двугранных углов при основании. Точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от его сторон. Следовательно, расстояние от $O$ до плоскости основания (равное $OH$) равно расстоянию от $O$ до каждой боковой грани. Таким образом, точка $O$ равноудалена от всех граней пирамиды.

Это доказывает, что в такую пирамиду можно вписать шар, и его центр – точка $O$ – находится на высоте пирамиды $SH$.

Ответ: Утверждение доказано. Если двугранные углы при основании пирамиды равны, то основание высоты пирамиды является центром вписанной в основание окружности. Биссектрисы линейных углов этих двугранных углов пересекаются в одной точке на высоте пирамиды. Эта точка равноудалена от всех граней пирамиды и, следовательно, является центром вписанного в пирамиду шара. Таким образом, в такую пирамиду можно вписать шар, и его центр находится на высоте пирамиды.