Номер 680, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

680. Шар вписан в четырехугольную призму. Можно ли утверждать, что суммы площадей противоположных боковых граней призмы одинаковы?

Если в четырехугольную призму вписан шар, это означает, что шар касается всех ее граней: двух оснований и четырех боковых.

Из того, что шар касается параллельных оснований призмы, следует, что высота призмы $H$ равна диаметру вписанного шара $D=2R$, где $R$ – радиус шара.

Из того, что шар касается всех боковых граней, следует, что призма является прямой. У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками, перпендикулярными основаниям.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, которая параллельна основаниям и проходит через центр вписанного шара. В сечении мы получим четырехугольник (равный основанию призмы), в который будет вписана окружность (большой круг шара). Четырехугольник, в который можно вписать окружность, называется описанным.

Для любого описанного четырехугольника справедлива теорема Пиот, согласно которой суммы длин его противоположных сторон равны. Если обозначить длины сторон основания призмы как $a$, $b$, $c$ и $d$, то для них будет выполняться равенство:
$a + c = b + d$.

Площади боковых граней прямой призмы вычисляются как произведение соответствующей стороны основания на высоту призмы $H$. Таким образом, площади граней равны: $S_a = a \cdot H$, $S_b = b \cdot H$, $S_c = c \cdot H$ и $S_d = d \cdot H$.

Теперь найдем суммы площадей противоположных боковых граней.
Сумма площадей первой пары противоположных граней (со сторонами $a$ и $c$):
$S_a + S_c = aH + cH = (a+c)H$.
Сумма площадей второй пары противоположных граней (со сторонами $b$ и $d$):
$S_b + S_d = bH + dH = (b+d)H$.

Поскольку для сторон основания, как мы выяснили, выполняется равенство $a+c = b+d$, то, умножив обе части этого равенства на высоту $H$, мы получим, что суммы площадей противоположных боковых граней также равны:
$(a+c)H = (b+d)H$,
следовательно, $S_a + S_c = S_b + S_d$.

Таким образом, утверждение является верным.

Ответ: да, можно.