Номер 677, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

677. Основанием пирамиды служит ромб с углом $30^\circ$ и стороной 10 см. Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания. Высота пирамиды равна 6 см (рис. 221). Найдите объем шара, вписанного в эту пирамиду.

Рис. 221

Для нахождения объема вписанного шара необходимо сначала найти его радиус. Радиус шара, вписанного в пирамиду, можно найти по формуле:

$r = \frac{3V_{пирамиды}}{S_{полная}}$

где $V_{пирамиды}$ — объем пирамиды, а $S_{полная}$ — площадь ее полной поверхности.

Таким образом, решение задачи сводится к нахождению объема и площади полной поверхности пирамиды.

1. Нахождение площади основания и объема пирамиды

Основанием пирамиды является ромб со стороной $a = 10$ см и острым углом $\alpha = 30^\circ$. Площадь ромба вычисляется по формуле:

$S_{осн} = a^2 \cdot \sin \alpha$

$S_{осн} = 10^2 \cdot \sin 30^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50$ см$^2$.

Высота пирамиды дана по условию: $H = 6$ см. Объем пирамиды равен:

$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 50 \cdot 6 = 100$ см$^3$.

2. Нахождение площади полной поверхности пирамиды

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{полная} = S_{осн} + S_{бок}$

Поскольку вершина пирамиды проецируется в центр пересечения диагоналей ромба (который является центром вписанной в ромб окружности), все апофемы (высоты боковых граней) пирамиды равны. Площадь боковой поверхности можно найти по формуле:

$S_{бок} = \frac{1}{2} P_{осн} \cdot L$

где $P_{осн}$ — периметр основания, а $L$ — апофема пирамиды.

Периметр ромба: $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 10 = 40$ см.

Апофему $L$ найдем из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$ и радиусом вписанной в основание окружности $r_{осн}$. $L$ будет гипотенузой этого треугольника.

Радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты $h_{ромба}$:

$h_{ромба} = a \cdot \sin \alpha = 10 \cdot \sin 30^\circ = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ см.

$r_{осн} = \frac{h_{ромба}}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Теперь по теореме Пифагора находим апофему:

$L = \sqrt{H^2 + r_{осн}^2} = \sqrt{6^2 + (2.5)^2} = \sqrt{36 + 6.25} = \sqrt{42.25} = 6.5$ см.

Находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 6.5 = 20 \cdot 6.5 = 130$ см$^2$.

Находим площадь полной поверхности:

$S_{полная} = S_{осн} + S_{бок} = 50 + 130 = 180$ см$^2$.

3. Нахождение радиуса и объема вписанного шара

Теперь мы можем найти радиус вписанного шара:

$r = \frac{3V_{пирамиды}}{S_{полная}} = \frac{3 \cdot 100}{180} = \frac{300}{180} = \frac{5}{3}$ см.

Наконец, находим объем шара по формуле $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi r^3$:

$V_{шара} = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{5}{3}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{125}{27} = \frac{500\pi}{81}$ см$^3$.

Ответ: $V_{шара} = \frac{500\pi}{81}$ см$^3$.