Номер 684, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

684. Основание конуса является большим кругом шара. Учитывая, что радиус шара равен $R$, а поверхность шара разделяет каждую образующую конуса в отношении $1:2$, если считать от вершины, найдите полную поверхность конуса.

Пусть $R$ — радиус шара. По условию, основание конуса является большим кругом шара, следовательно, радиус основания конуса $r$ равен радиусу шара $R$.

Обозначим высоту конуса как $h$, а образующую (длину боковой поверхности) как $l$. Эти величины связаны через теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, радиусом основания и образующей:

$l^2 = h^2 + r^2$

Так как $r = R$, то:

$l^2 = h^2 + R^2$ (1)

Рассмотрим осевое сечение конуса и шара. Это будет равнобедренный треугольник (сечение конуса) с вписанным в него кругом (сечение шара). Центр шара совпадает с центром основания конуса. Введем систему координат с началом в центре шара $O(0,0,0)$. Тогда вершина конуса будет иметь координаты $V(0,0,h)$, а любая точка на окружности основания, например $A$, будет иметь координаты $A(R,0,0)$.

Образующая конуса — это отрезок $VA$. Поверхность шара пересекает эту образующую в точке $P$. По условию, точка $P$ делит образующую в отношении $1:2$, считая от вершины. Это означает, что $VP : PA = 1 : 2$.

Найдем координаты точки $P$, используя формулу деления отрезка в данном отношении. Координаты точки $P(x,y,z)$ вычисляются как:

$P = \frac{2 \cdot V + 1 \cdot A}{2+1} = \frac{1}{3}(2V + A)$

$x_P = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot R}{3} = \frac{R}{3}$

$y_P = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 0}{3} = 0$

$z_P = \frac{2 \cdot h + 1 \cdot 0}{3} = \frac{2h}{3}$

Таким образом, точка $P$ имеет координаты $\left(\frac{R}{3}, 0, \frac{2h}{3}\right)$.

Так как точка $P$ лежит на поверхности шара, расстояние от нее до центра шара (начала координат) должно быть равно радиусу шара $R$. Расстояние $OP$ вычисляется по формуле:

$OP^2 = x_P^2 + y_P^2 + z_P^2 = R^2$

Подставим координаты точки $P$:

$\left(\frac{R}{3}\right)^2 + 0^2 + \left(\frac{2h}{3}\right)^2 = R^2$

$\frac{R^2}{9} + \frac{4h^2}{9} = R^2$

Умножим обе части уравнения на 9:

$R^2 + 4h^2 = 9R^2$

$4h^2 = 8R^2$

$h^2 = 2R^2$

Теперь, зная $h^2$, мы можем найти $l^2$ из уравнения (1):

$l^2 = h^2 + R^2 = 2R^2 + R^2 = 3R^2$

Отсюда длина образующей $l = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$.

Полная поверхность конуса $S_{полн}$ складывается из площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$

Площадь основания (круга радиусом $R$):

$S_{осн} = \pi r^2 = \pi R^2$

Площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi r l = \pi R (R\sqrt{3}) = \pi R^2 \sqrt{3}$

Таким образом, полная поверхность конуса равна:

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi R^2 \sqrt{3} = \pi R^2(1 + \sqrt{3})$

Ответ: $\pi R^2(1 + \sqrt{3})$.