Номер 681, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

681. Диагональ четырехугольника длиной 24 см является его осью симметрии. Две стороны четырехугольника имеют длины 13 см и 15 см. В прямую призму, основанием которой является этот четырехугольник, можно вписать шар. Найдите полную поверхность призмы.

Основанием прямой призмы является четырехугольник, у которого одна из диагоналей является осью симметрии. Такой четырехугольник – дельтоид. Пусть его вершины $A, B, C, D$, а диагональ $AC$ – ось симметрии. Тогда $AB=AD$ и $BC=DC$. По условию, длины двух сторон равны 13 см и 15 см, следовательно, это длины смежных сторон. Пусть $AB = AD = 13$ см, а $BC = DC = 15$ см. Длина диагонали-оси симметрии равна $AC = 24$ см.

В прямую призму можно вписать шар. Это возможно, если в основание призмы можно вписать окружность, а высота призмы $H$ равна диаметру этой окружности ($H = 2r$, где $r$ – радиус вписанной в основание окружности).Проверим, можно ли вписать окружность в наш дельтоид. Для этого суммы длин противоположных сторон должны быть равны:$AB + CD = 13 + 15 = 28$ см.$BC + AD = 15 + 13 = 28$ см. Так как суммы равны, в основание можно вписать окружность.

Для нахождения полной поверхности призмы $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$ нам нужно найти площадь основания $S_{осн}$, периметр основания $P_{осн}$ и высоту призмы $H$. Периметр основания:$P_{осн} = AB + BC + CD + DA = 13 + 15 + 15 + 13 = 56$ см.

Площадь основания (дельтоида) равна сумме площадей двух равных треугольников $ABC$ и $ADC$. Найдем площадь треугольника $ABC$ по формуле Герона, зная его стороны $a=15$ см, $b=13$ см, $c=24$ см. Полупериметр треугольника $p_{\triangle}$:$p_{\triangle} = \frac{13 + 15 + 24}{2} = \frac{52}{2} = 26$ см. Площадь треугольника $ABC$:$S_{\triangle ABC} = \sqrt{p_{\triangle}(p_{\triangle}-a)(p_{\triangle}-b)(p_{\triangle}-c)} = \sqrt{26(26-15)(26-13)(26-24)} = \sqrt{26 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 2} = \sqrt{2 \cdot 13 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 2} = \sqrt{4 \cdot 13^2 \cdot 11} = 2 \cdot 13\sqrt{11} = 26\sqrt{11}$ см$^2$. Площадь основания призмы:$S_{осн} = 2 \cdot S_{\triangle ABC} = 2 \cdot 26\sqrt{11} = 52\sqrt{11}$ см$^2$.

Теперь найдем радиус $r$ окружности, вписанной в основание. Площадь четырехугольника, в который можно вписать окружность, равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: $S_{осн} = p_{осн} \cdot r$. Полупериметр основания $p_{осн} = \frac{P_{осн}}{2} = \frac{56}{2} = 28$ см.$r = \frac{S_{осн}}{p_{осн}} = \frac{52\sqrt{11}}{28} = \frac{13\sqrt{11}}{7}$ см.

Высота призмы $H$ равна диаметру вписанной окружности:$H = 2r = 2 \cdot \frac{13\sqrt{11}}{7} = \frac{26\sqrt{11}}{7}$ см.

Площадь боковой поверхности прямой призмы $S_{бок}$ равна произведению периметра основания на высоту:$S_{бок} = P_{осн} \cdot H = 56 \cdot \frac{26\sqrt{11}}{7} = 8 \cdot 26\sqrt{11} = 208\sqrt{11}$ см$^2$.

Полная поверхность призмы:$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 52\sqrt{11} + 208\sqrt{11} = 104\sqrt{11} + 208\sqrt{11} = 312\sqrt{11}$ см$^2$.

Ответ: $312\sqrt{11}$ см$^2$.