Номер 674, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

674. Докажите, что если вокруг шара описан или в него вписан равносторонний цилиндр и равносторонний конус, то в обоих случаях полная поверхность цилиндра есть среднее пропорциональное полной поверхности конуса и поверхности шара, а объем цилиндра есть среднее пропорциональное объема конуса и объема шара (рис. 219 и 220).

Рис. 219

Рис. 220

Для доказательства нам необходимо найти формулы для объемов и площадей поверхностей шара, равностороннего цилиндра и равностороннего конуса, а затем проверить утверждение для двух случаев.

Пусть радиус шара равен $R$.

• Площадь поверхности шара: $S_{шара} = 4\pi R^2$
• Объем шара: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Для равностороннего цилиндра (высота $H_{цил}$ равна диаметру основания $2r_{цил}$, т.е. $H_{цил} = 2r_{цил}$):

• Полная поверхность цилиндра: $S_{цил} = 2\pi r_{цил}^2 + 2\pi r_{цил} H_{цил} = 2\pi r_{цил}^2 + 2\pi r_{цил}(2r_{цил}) = 6\pi r_{цил}^2$
• Объем цилиндра: $V_{цил} = \pi r_{цил}^2 H_{цил} = \pi r_{цил}^2 (2r_{цил}) = 2\pi r_{цил}^3$

Для равностороннего конуса (образующая $l_{кон}$ равна диаметру основания $2r_{кон}$, т.е. $l_{кон} = 2r_{кон}$; высота $H_{кон} = \sqrt{l_{кон}^2 - r_{кон}^2} = \sqrt{(2r_{кон})^2 - r_{кон}^2} = r_{кон}\sqrt{3}$):

• Полная поверхность конуса: $S_{кон} = \pi r_{кон}^2 + \pi r_{кон} l_{кон} = \pi r_{кон}^2 + \pi r_{кон}(2r_{кон}) = 3\pi r_{кон}^2$
• Объем конуса: $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r_{кон}^2 H_{кон} = \frac{1}{3}\pi r_{кон}^2 (r_{кон}\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\pi r_{кон}^3$

Нам нужно доказать, что $S_{цил}^2 = S_{кон} \cdot S_{шара}$ и $V_{цил}^2 = V_{кон} \cdot V_{шара}$.

Случай 1: Равносторонние цилиндр и конус описаны вокруг шара (рис. 219)

Пусть радиус вписанного шара равен $R$.

Для описанного равностороннего цилиндра его радиус основания равен радиусу шара ($r_{цил} = R$), а высота равна диаметру шара ($H_{цил} = 2R$).

• $S_{цил} = 6\pi r_{цил}^2 = 6\pi R^2$
• $V_{цил} = 2\pi r_{цил}^3 = 2\pi R^3$

Для описанного равностороннего конуса радиус вписанного шара $R$ связан с радиусом основания конуса $r_{кон}$ соотношением $R = r_{кон} \frac{\sqrt{3}}{3}$ (так как в осевом сечении получается равносторонний треугольник, а радиус вписанной окружности равен $1/3$ высоты). Отсюда $r_{кон} = R\sqrt{3}$.

• $S_{кон} = 3\pi r_{кон}^2 = 3\pi (R\sqrt{3})^2 = 3\pi (3R^2) = 9\pi R^2$
• $V_{кон} = \frac{\sqrt{3}}{3}\pi r_{кон}^3 = \frac{\sqrt{3}}{3}\pi (R\sqrt{3})^3 = \frac{\sqrt{3}}{3}\pi (R^3 \cdot 3\sqrt{3}) = 3\pi R^3$

Теперь проверим равенства.

1. Проверка для площадей поверхностей:

$S_{цил}^2 = (6\pi R^2)^2 = 36\pi^2 R^4$

$S_{кон} \cdot S_{шара} = (9\pi R^2) \cdot (4\pi R^2) = 36\pi^2 R^4$

Так как $36\pi^2 R^4 = 36\pi^2 R^4$, то $S_{цил}^2 = S_{кон} \cdot S_{шара}$. Утверждение верно.

2. Проверка для объемов:

$V_{цил}^2 = (2\pi R^3)^2 = 4\pi^2 R^6$

$V_{кон} \cdot V_{шара} = (3\pi R^3) \cdot (\frac{4}{3}\pi R^3) = 4\pi^2 R^6$

Так как $4\pi^2 R^6 = 4\pi^2 R^6$, то $V_{цил}^2 = V_{кон} \cdot V_{шара}$. Утверждение верно.

Ответ: Утверждение доказано для случая описанных фигур.

Случай 2: Равносторонние цилиндр и конус вписаны в шар (рис. 220)

Пусть радиус описанного шара равен $R$.

Для вписанного равностороннего цилиндра его осевое сечение — квадрат, вписанный в большую окружность шара. Диагональ этого квадрата равна диаметру шара $2R$. Если сторона квадрата $a$, то $a^2 + a^2 = (2R)^2 \Rightarrow 2a^2 = 4R^2 \Rightarrow a^2=2R^2$. Сторона квадрата $a=H_{цил}=2r_{цил}$, значит $H_{цил}=R\sqrt{2}$ и $r_{цил} = \frac{R\sqrt{2}}{2}$.

• $S_{цил} = 6\pi r_{цил}^2 = 6\pi (\frac{R\sqrt{2}}{2})^2 = 6\pi (\frac{2R^2}{4}) = 3\pi R^2$
• $V_{цил} = 2\pi r_{цил}^3 = 2\pi (\frac{R\sqrt{2}}{2})^3 = 2\pi (\frac{R^3 \cdot 2\sqrt{2}}{8}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\pi R^3$

Для вписанного равностороннего конуса его осевое сечение — равносторонний треугольник, вписанный в большую окружность шара. Радиус описанной окружности $R$ связан с радиусом основания конуса $r_{кон}$ соотношением $R = \frac{2 \cdot H_{кон}}{3}$ и $H_{кон}=r_{кон}\sqrt{3}$. Отсюда $R = \frac{2 r_{кон}\sqrt{3}}{3} \Rightarrow r_{кон} = \frac{3R}{2\sqrt{3}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}$. Высота конуса $H_{кон} = \frac{3}{2}R$.

• $S_{кон} = 3\pi r_{кон}^2 = 3\pi (\frac{R\sqrt{3}}{2})^2 = 3\pi (\frac{3R^2}{4}) = \frac{9}{4}\pi R^2$
• $V_{кон} = \frac{1}{3}\pi r_{кон}^2 H_{кон} = \frac{1}{3}\pi (\frac{3R^2}{4})(\frac{3R}{2}) = \frac{9}{24}\pi R^3 = \frac{3}{8}\pi R^3$

Теперь проверим равенства.

1. Проверка для площадей поверхностей:

$S_{цил}^2 = (3\pi R^2)^2 = 9\pi^2 R^4$

$S_{кон} \cdot S_{шара} = (\frac{9}{4}\pi R^2) \cdot (4\pi R^2) = 9\pi^2 R^4$

Так как $9\pi^2 R^4 = 9\pi^2 R^4$, то $S_{цил}^2 = S_{кон} \cdot S_{шара}$. Утверждение верно.

2. Проверка для объемов:

$V_{цил}^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2}\pi R^3)^2 = \frac{2}{4}\pi^2 R^6 = \frac{1}{2}\pi^2 R^6$

$V_{кон} \cdot V_{шара} = (\frac{3}{8}\pi R^3) \cdot (\frac{4}{3}\pi R^3) = \frac{12}{24}\pi^2 R^6 = \frac{1}{2}\pi^2 R^6$

Так как $\frac{1}{2}\pi^2 R^6 = \frac{1}{2}\pi^2 R^6$, то $V_{цил}^2 = V_{кон} \cdot V_{шара}$. Утверждение верно.

Ответ: Утверждение доказано для случая вписанных фигур.