Номер 678, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

678. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с углом $216^\circ$. Высота конуса равна $10\frac{2}{3}$ м. Плоскость, параллельная основанию, проведена так, что в полученный усеченный конус можно вписать шар. Найдите высоту усеченного конуса.

Пусть $L$ — образующая исходного конуса, $R$ — радиус его основания, $H$ — его высота. Разверткой боковой поверхности является сектор с углом $\alpha = 216^\circ$ и радиусом, равным образующей $L$. Длина дуги этого сектора равна длине окружности основания конуса, то есть $2\pi R$.

Длину дуги сектора можно выразить формулой: $C_{дуги} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi L$.

Приравняем длину дуги и длину окружности основания:$2\pi R = \frac{216}{360} \cdot 2\pi L$

Сократив $2\pi$ и дробь $\frac{216}{360} = \frac{3 \cdot 72}{5 \cdot 72} = \frac{3}{5}$, получим соотношение между радиусом и образующей:$R = \frac{3}{5}L$

Высота, радиус и образующая конуса связаны теоремой Пифагора: $L^2 = H^2 + R^2$. Подставим в это уравнение выражение для $R$:$L^2 = H^2 + \left(\frac{3}{5}L\right)^2 = H^2 + \frac{9}{25}L^2$

Выразим $H^2$ через $L^2$:$H^2 = L^2 - \frac{9}{25}L^2 = \frac{16}{25}L^2$

Отсюда $H = \sqrt{\frac{16}{25}L^2} = \frac{4}{5}L$.

По условию высота конуса $H = 10\frac{2}{3} = \frac{32}{3}$ м. Найдем образующую $L$ и радиус $R$ исходного конуса:$L = \frac{5}{4}H = \frac{5}{4} \cdot \frac{32}{3} = \frac{5 \cdot 8}{3} = \frac{40}{3}$ м.$R = \frac{3}{5}L = \frac{3}{5} \cdot \frac{40}{3} = 8$ м.

Плоскость, параллельная основанию, отсекает от исходного конуса меньший конус, подобный исходному. В полученный усеченный конус вписан шар. Это возможно тогда и только тогда, когда в осевое сечение усеченного конуса (равнобокую трапецию) можно вписать окружность. Условием для этого является равенство сумм длин противоположных сторон.

Пусть $r$ — радиус верхнего основания усеченного конуса, а $l_f$ — его образующая. Тогда для осевого сечения (трапеции с основаниями $2R$ и $2r$ и боковыми сторонами $l_f$) выполняется условие:$2R + 2r = l_f + l_f$$R + r = l_f$

Пусть $l_1$ — образующая отсеченного (малого) конуса. Тогда образующая усеченного конуса $l_f = L - l_1$. Из подобия конусов имеем соотношение: $\frac{r}{R} = \frac{l_1}{L}$, откуда $r = R \frac{l_1}{L}$.

Подставим выражения для $r$ и $l_f$ в условие вписанного шара:$R + R \frac{l_1}{L} = L - l_1$

Подставим известные значения $R=8$ и $L=\frac{40}{3}$:$8 + 8 \cdot \frac{l_1}{40/3} = \frac{40}{3} - l_1$$8 + 8 \cdot \frac{3l_1}{40} = \frac{40}{3} - l_1$$8 + \frac{3}{5}l_1 = \frac{40}{3} - l_1$

Перенесем слагаемые с $l_1$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:$\frac{3}{5}l_1 + l_1 = \frac{40}{3} - 8$$\frac{8}{5}l_1 = \frac{40 - 24}{3}$$\frac{8}{5}l_1 = \frac{16}{3}$$l_1 = \frac{16}{3} \cdot \frac{5}{8} = \frac{10}{3}$ м.

Мы ищем высоту усеченного конуса $h_f$. Из подобия конусов следует, что отношение высоты к образующей постоянно: $\frac{H}{L} = \frac{h_1}{l_1}$, где $h_1$ - высота малого конуса. Высота усеченного конуса $h_f = H - h_1$. Найдем $h_1$:$h_1 = H \cdot \frac{l_1}{L} = \frac{32}{3} \cdot \frac{10/3}{40/3} = \frac{32}{3} \cdot \frac{10}{40} = \frac{32}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{8}{3}$ м.

Теперь найдем высоту усеченного конуса:$h_f = H - h_1 = \frac{32}{3} - \frac{8}{3} = \frac{24}{3} = 8$ м.

Ответ: 8 м.