Номер 682, страница 99 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

682. Основание конуса является большим кругом шара (рис. 222). Учитывая, что радиус шара равен $R$ и то, что вне шара находится четвертая доля боковой поверхности конуса, найдите полную поверхность конуса.

Рис. 222

Обозначим радиус шара и, соответственно, радиус основания конуса как $R$. Площадь основания конуса $S_{осн}$ вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \pi R^2$

Площадь боковой поверхности конуса $S_{бок}$ равна:

$S_{бок} = \pi R l$, где $l$ — длина образующей конуса.

Полная поверхность конуса $S_{полн}$ является суммой площади основания и площади боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R l$

По условию задачи, четвертая доля боковой поверхности конуса находится вне шара. Эта часть представляет собой боковую поверхность меньшего конуса, подобного исходному. Отношение площади боковой поверхности меньшего конуса ($S_{вне}$) к площади боковой поверхности всего конуса ($S_{бок}$) равно квадрату коэффициента подобия $k$:

$\frac{S_{вне}}{S_{бок}} = k^2$

Так как $S_{вне} = \frac{1}{4} S_{бок}$, то:

$k^2 = \frac{1}{4} \implies k = \frac{1}{2}$

Коэффициент подобия также является отношением радиусов оснований этих конусов. Если $r_1$ — радиус основания меньшего конуса (окружности пересечения конуса и шара), то:

$\frac{r_1}{R} = k = \frac{1}{2} \implies r_1 = \frac{R}{2}$

Рассмотрим осевое сечение конуса и шара. Центр шара совпадает с центром основания конуса. Окружность пересечения конуса и шара находится на некоторой высоте $h$ от основания. Точки этой окружности лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара до любой точки на его поверхности равно радиусу $R$. Для точки на окружности пересечения мы можем записать по теореме Пифагора:

$r_1^2 + h^2 = R^2$

Подставим найденное значение $r_1$:

$(\frac{R}{2})^2 + h^2 = R^2$

$\frac{R^2}{4} + h^2 = R^2$

$h^2 = R^2 - \frac{R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}$

$h = \frac{\sqrt{3}}{2}R$

Теперь рассмотрим подобие треугольников в осевом сечении. Большой прямоугольный треугольник образован высотой конуса $H$, радиусом основания $R$ и образующей $l$. Меньший треугольник, соответствующий части конуса над плоскостью сечения, имеет катеты $H-h$ и $r_1$. Из подобия следует:

$\frac{H}{R} = \frac{H-h}{r_1}$

Подставим известные значения $h$ и $r_1$:

$\frac{H}{R} = \frac{H - \frac{\sqrt{3}}{2}R}{\frac{R}{2}}$

$H \cdot \frac{R}{2} = R \cdot (H - \frac{\sqrt{3}}{2}R)$

$\frac{H}{2} = H - \frac{\sqrt{3}}{2}R$

$\frac{\sqrt{3}}{2}R = H - \frac{H}{2} = \frac{H}{2}$

$H = \sqrt{3}R$

Теперь найдем образующую $l$ по теореме Пифагора для большого конуса:

$l = \sqrt{H^2 + R^2} = \sqrt{(\sqrt{3}R)^2 + R^2} = \sqrt{3R^2 + R^2} = \sqrt{4R^2} = 2R$

Наконец, вычислим полную поверхность конуса:

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi R l = \pi R^2 + \pi R (2R) = \pi R^2 + 2\pi R^2 = 3\pi R^2$

Ответ: $3\pi R^2$.