Номер 676, страница 98 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

676. В шар вписан конус с вершиной M. При этом высота MC конуса разделяется центром O шара так, что $MC : MO = MO : OC$. Найдите отношение объема шара к объему конуса.

Обозначим радиус шара как $R$, а радиус основания и высоту конуса как $r$ и $h$ соответственно. Центр шара — точка O, вершина конуса — точка M, центр основания конуса — точка C.

Объем шара вычисляется по формуле: $V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3$

Объем конуса вычисляется по формуле: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Так как конус вписан в шар, его вершина M и окружность основания лежат на поверхности шара. Расстояние от центра шара O до любой точки на его поверхности равно радиусу $R$. Следовательно, расстояние от центра шара O до вершины конуса M равно радиусу шара: $MO = R$.

Высота конуса $h = MC$. По условию, центр шара O лежит на высоте, поэтому $h = MC = MO + OC = R + OC$.

Из условия задачи известно, что высота конуса MC разделяется центром шара O в следующем отношении: $\frac{MC}{MO} = \frac{MO}{OC}$

Из этой пропорции следует, что $MO^2 = MC \cdot OC$. Подставим известные нам выражения для $MO$ и $MC$: $R^2 = (R + OC) \cdot OC$ $R^2 = R \cdot OC + OC^2$

Перепишем это в виде квадратного уравнения относительно длины отрезка OC: $OC^2 + R \cdot OC - R^2 = 0$

Решим это уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения: $OC = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-R^2)}}{2} = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 + 4R^2}}{2} = \frac{-R \pm \sqrt{5R^2}}{2} = \frac{-R \pm R\sqrt{5}}{2}$

Поскольку OC — это длина отрезка, она не может быть отрицательной. Поэтому выбираем корень со знаком «плюс»: $OC = R\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Теперь мы можем найти высоту конуса $h$: $h = MC = R + OC = R + R\frac{\sqrt{5}-1}{2} = R\left(1 + \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) = R\frac{2+\sqrt{5}-1}{2} = R\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

Далее найдем квадрат радиуса основания конуса $r^2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник OAC, где OA — радиус шара, являющийся гипотенузой, OC и AC=r — катеты. По теореме Пифагора: $r^2 = OA^2 - OC^2 = R^2 - OC^2$ $r^2 = R^2 - \left(R\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^2 = R^2 - R^2\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{4}$ $r^2 = R^2\left(1 - \frac{5 - 2\sqrt{5} + 1}{4}\right) = R^2\left(1 - \frac{6 - 2\sqrt{5}}{4}\right)$ $r^2 = R^2\left(\frac{4 - (6 - 2\sqrt{5})}{4}\right) = R^2\left(\frac{4 - 6 + 2\sqrt{5}}{4}\right) = R^2\left(\frac{2\sqrt{5} - 2}{4}\right) = R^2\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Теперь, зная $r^2$ и $h$, вычислим объем конуса, выразив его через $R$: $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(R^2\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \left(R\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$ $V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi R^3 \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{1}{3}\pi R^3 \frac{5-1}{4} = \frac{1}{3}\pi R^3 \frac{4}{4} = \frac{1}{3}\pi R^3$

Наконец, найдем искомое отношение объема шара к объему конуса: $\frac{V_{шара}}{V_{конуса}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\frac{1}{3}\pi R^3} = 4$

Ответ: 4.