Номер 670, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

670. В правильной четырехугольной призме диагональ боковой грани и диагональ основания равны 7 см и 8 см соответственно. Найдите объем шара, описанного около этой призмы.

Пусть $a$ – сторона основания правильной четырехугольной призмы, а $h$ – ее высота. Так как призма правильная, в ее основании лежит квадрат, а боковые грани являются прямоугольниками, перпендикулярными основанию.

Диагональ основания $d_{осн}$ является диагональю квадрата со стороной $a$. Связь между ними выражается формулой $d_{осн} = a\sqrt{2}$. По условию, $d_{осн} = 8$ см.
$a\sqrt{2} = 8$
$a = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.
Тогда квадрат стороны основания $a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32$ см$^2$.

Диагональ боковой грани $d_{бок}$ является диагональю прямоугольника со сторонами $a$ и $h$. По теореме Пифагора, $d_{бок}^2 = a^2 + h^2$. По условию, $d_{бок} = 7$ см.
$7^2 = a^2 + h^2$
$49 = 32 + h^2$
Отсюда находим квадрат высоты призмы:
$h^2 = 49 - 32 = 17$.

Диаметр $D$ шара, описанного около призмы, равен главной диагонали этой призмы. Квадрат главной диагонали $D$ прямой призмы можно найти по формуле:
$D^2 = d_{осн}^2 + h^2$.
Подставим известные значения:
$D^2 = 8^2 + 17 = 64 + 17 = 81$.
Следовательно, главная диагональ призмы $D = \sqrt{81} = 9$ см.

Радиус $R$ описанного шара равен половине его диаметра:
$R = \frac{D}{2} = \frac{9}{2}$ см.

Объем шара $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{9}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{729}{8} = \frac{4 \cdot 729}{3 \cdot 8}\pi = \frac{729}{6}\pi = \frac{243}{2}\pi = 121.5\pi$ см$^3$.

Ответ: $121.5\pi$ см$^3$.