Номер 663, страница 97 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

663. Металлический шар переплавлен в $n$ равных между собой меньших шаров. Как изменилась при этом общая площадь поверхности?

Пусть $R$ — радиус исходного металлического шара, а $r$ — радиус одного из $n$ равных меньших шаров.

Объем исходного шара вычисляется по формуле $V_1 = \frac{4}{3}\pi R^3$, а площадь его поверхности — $S_1 = 4\pi R^2$.

Суммарный объем $n$ меньших шаров составляет $V_2 = n \cdot \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)$, а их суммарная площадь поверхности — $S_2 = n \cdot (4\pi r^2)$.

При переплавке объем металла сохраняется, поэтому объем исходного шара равен суммарному объему новых шаров, то есть $V_1 = V_2$:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$

Упрощая это выражение, находим связь между радиусами:
$R^3 = n r^3 \implies R = r\sqrt[3]{n}$

Чтобы узнать, как изменилась общая площадь поверхности, найдем отношение новой суммарной площади $S_2$ к исходной площади $S_1$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{n \cdot 4\pi r^2}{4\pi R^2} = \frac{n r^2}{R^2} = n \left(\frac{r}{R}\right)^2$

Из соотношения радиусов $R = r\sqrt[3]{n}$ следует, что $\frac{r}{R} = \frac{1}{\sqrt[3]{n}}$. Подставим это в формулу для отношения площадей:
$\frac{S_2}{S_1} = n \left(\frac{1}{\sqrt[3]{n}}\right)^2 = n \cdot \frac{1}{n^{2/3}} = n^{1 - 2/3} = n^{1/3} = \sqrt[3]{n}$

Таким образом, отношение новой площади к старой равно $\sqrt[3]{n}$, что означает, что общая площадь поверхности увеличилась.

Ответ: Общая площадь поверхности увеличилась в $\sqrt[3]{n}$ раз.