Номер 656, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

656. В сферу с радиусом $r$ вписан конус такой высоты, что его боковая поверхность равновелика прилежащей к ней поверхности сегмента. Найдите высоту конуса.

Пусть $r$ — радиус сферы. Обозначим высоту вписанного конуса через $H$, радиус его основания через $r_к$, а образующую — через $l$.

Рассмотрим осевое сечение сферы и вписанного в нее конуса. Сечением будет окружность радиуса $r$ и вписанный в нее равнобедренный треугольник с высотой $H$ и основанием $2r_к$.

Свяжем величины $r_к$ и $l$ с $r$ и $H$. Из прямоугольного треугольника, образованного радиусом сферы, радиусом основания конуса и отрезком, соединяющим центр сферы с центром основания конуса, по теореме Пифагора получаем:

$r^2 = (r-H)^2 + r_к^2$

Отсюда находим квадрат радиуса основания конуса:

$r_к^2 = r^2 - (r-H)^2 = r^2 - (r^2 - 2rH + H^2) = 2rH - H^2$

Теперь из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, радиусом его основания и образующей, по теореме Пифагора находим квадрат образующей:

$l^2 = H^2 + r_к^2 = H^2 + (2rH - H^2) = 2rH$

Следовательно, $l = \sqrt{2rH}$.

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r_к l = \pi \sqrt{2rH - H^2} \cdot \sqrt{2rH} = \pi \sqrt{(2rH - H^2)(2rH)}$

Основание конуса делит поверхность сферы на два сферических сегмента. Высота сегмента, к которому прилежит вершина конуса, равна высоте конуса $H$. Площадь его поверхности равна:

$S_{сегм1} = 2\pi r H$

Высота другого сегмента равна $2r - H$. Площадь его поверхности равна:

$S_{сегм2} = 2\pi r (2r-H)$

По условию задачи, боковая поверхность конуса равновелика прилежащей к ней поверхности сегмента. Рассмотрим два возможных толкования этого условия.

1. Поверхность конуса равна поверхности меньшего сегмента ($S_{бок} = S_{сегм1}$).

$\pi \sqrt{(2rH - H^2)(2rH)} = 2\pi r H$

Возведем обе части в квадрат (при условии $H \ge 0$):

$\pi^2 (2rH - H^2)(2rH) = 4\pi^2 r^2 H^2$

$4\pi^2 r^2 H^2 - 2\pi^2 r H^3 = 4\pi^2 r^2 H^2$

$-2\pi^2 r H^3 = 0$

Это уравнение имеет единственное решение $H=0$, что соответствует вырожденному конусу. Для любого невырожденного конуса ($H>0$) боковая поверхность строго меньше поверхности прилежащего сегмента ($S_{бок} < S_{сегм1}$), так как $\sqrt{4r^2 - 2rH} < 2r$. Следовательно, это толкование не приводит к решению для невырожденного конуса.

2. Поверхность конуса равна поверхности большего сегмента ($S_{бок} = S_{сегм2}$).

Эта интерпретация предполагает, что под "прилежащей" понимается поверхность сегмента, имеющего общее основание с конусом, но не содержащего его вершину.

$\pi \sqrt{(2rH - H^2)(2rH)} = 2\pi r (2r-H)$

Раскроем корень:

$\pi H \sqrt{2r(2r-H)} = 2\pi r (2r-H)$

Поскольку мы ищем невырожденный конус, $0 < H < 2r$, и мы можем разделить обе части на $\pi \sqrt{2r-H}$:

$H \sqrt{2r} = 2r \sqrt{2r-H}$

Возведем обе части в квадрат:

$H^2 \cdot 2r = 4r^2 (2r-H)$

Разделим на $2r$ (так как $r \ne 0$):

$H^2 = 2r(2r-H)$

$H^2 = 4r^2 - 2rH$

Получаем квадратное уравнение относительно $H$:

$H^2 + 2rH - 4r^2 = 0$

Решим это уравнение:

$H = \frac{-2r \pm \sqrt{(2r)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4r^2)}}{2} = \frac{-2r \pm \sqrt{4r^2 + 16r^2}}{2} = \frac{-2r \pm \sqrt{20r^2}}{2} = \frac{-2r \pm 2r\sqrt{5}}{2} = r(-1 \pm \sqrt{5})$

Так как высота конуса $H$ должна быть положительной величиной, выбираем корень со знаком "плюс":

$H = r(\sqrt{5}-1)$

Это значение удовлетворяет условию $0 < H < 2r$, так как $\sqrt{5} \approx 2.236$.

Ответ: $r(\sqrt{5}-1)$.