Номер 657, страница 96 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

657. Радиус сферы равен 25 см. На расстоянии 45 см от ее центра размещен точечный источник света (рис. 216). Определите, какая часть сферы освещена.

Рис. 216

Обозначим радиус сферы как $R$, а расстояние от центра сферы до источника света как $d$.

По условию задачи:

$R = 25$ см

$d = 45$ см

Освещенная часть сферы представляет собой сферический сегмент (шапочку). Чтобы определить, какая часть сферы освещена, необходимо найти отношение площади этого сферического сегмента $S_{сегм}$ к общей площади поверхности сферы $S_{сферы}$.

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:

$S_{сферы} = 4\pi R^2$

Площадь сферического сегмента вычисляется по формуле:

$S_{сегм} = 2\pi R h$

где $h$ — высота сегмента.

Искомое отношение равно:

$\frac{S_{сегм}}{S_{сферы}} = \frac{2\pi R h}{4\pi R^2} = \frac{h}{2R}$

Следовательно, задача сводится к нахождению высоты $h$ освещенного сферического сегмента.

Рассмотрим сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы и источник света. В этом сечении мы увидим окружность радиуса $R$ и точку-источник света. Лучи света, касающиеся сферы, образуют конус, вершина которого находится в источнике света. Линия касания на сфере — это окружность, которая является основанием нашего сферического сегмента.

Пусть $L$ — источник света, $O$ — центр сферы, а $P$ — любая точка на окружности касания. Тогда отрезок $LP$ является касательной к сфере, а отрезок $OP$ — радиусом, проведенным в точку касания. Следовательно, треугольник $LPO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $P$.

В этом треугольнике:

• Гипотенуза $LO = d = 45$ см.
• Катет $OP = R = 25$ см.

Высота сферического сегмента $h$ — это расстояние от "вершины" сегмента (точки на сфере, ближайшей к источнику) до плоскости его основания. Эта высота может быть найдена как разность между радиусом $R$ и расстоянием от центра сферы $O$ до плоскости основания сегмента. Обозначим это расстояние как $x$.

$h = R - x$

Расстояние $x$ является длиной проекции катета $OP$ на гипотенузу $LO$. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:

$OP^2 = LO \cdot x$

$R^2 = d \cdot x$

Отсюда найдем $x$:

$x = \frac{R^2}{d} = \frac{25^2}{45} = \frac{625}{45} = \frac{125}{9}$ см.

Теперь вычислим высоту сегмента $h$:

$h = R - x = 25 - \frac{125}{9} = \frac{25 \cdot 9 - 125}{9} = \frac{225 - 125}{9} = \frac{100}{9}$ см.

Наконец, найдем искомую долю освещенной поверхности сферы:

$\frac{h}{2R} = \frac{100/9}{2 \cdot 25} = \frac{100/9}{50} = \frac{100}{9 \cdot 50} = \frac{2}{9}$

Таким образом, освещена $\frac{2}{9}$ часть поверхности сферы.

Ответ: $\frac{2}{9}$