Номер 653, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

653. Найдите площадь сферического пояса, учитывая, что радиусы сферы и оснований пояса равны 25 см, 20 см и 7 см.

Площадь сферического пояса (зоны) вычисляется по формуле:

$S = 2 \pi R h$

где $R$ — радиус сферы, а $h$ — высота сферического пояса (расстояние между плоскостями оснований).

По условию задачи даны:

• Радиус сферы $R = 25$ см.
• Радиус первого основания $r_1 = 20$ см.
• Радиус второго основания $r_2 = 7$ см.

Чтобы найти высоту пояса $h$, сначала определим расстояние от центра сферы до каждой из плоскостей оснований. Это расстояние $d$, радиус основания $r$ и радиус сферы $R$ связаны соотношением, основанным на теореме Пифагора (рассматривая сечение сферы):

$d^2 + r^2 = R^2$, откуда $d = \sqrt{R^2 - r^2}$.

1. Найдем расстояние $d_1$ от центра сферы до плоскости основания с радиусом $r_1 = 20$ см:

$d_1 = \sqrt{R^2 - r_1^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15$ см.

2. Найдем расстояние $d_2$ от центра сферы до плоскости основания с радиусом $r_2 = 7$ см:

$d_2 = \sqrt{R^2 - r_2^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$ см.

В условии не указано, как расположены основания сферического пояса относительно центра сферы. Возможны два случая.

В этом случае высота пояса $h$ равна разности расстояний от центра до плоскостей оснований:

$h = |d_2 - d_1| = |24 - 15| = 9$ см.

Тогда площадь сферического пояса равна:

$S_1 = 2 \pi R h = 2 \pi \cdot 25 \cdot 9 = 50 \pi \cdot 9 = 450 \pi$ см².

Ответ: $450 \pi$ см².

В этом случае высота пояса $h$ равна сумме расстояний от центра до плоскостей оснований:

$h = d_1 + d_2 = 15 + 24 = 39$ см.

Тогда площадь сферического пояса равна:

$S_2 = 2 \pi R h = 2 \pi \cdot 25 \cdot 39 = 50 \pi \cdot 39 = 1950 \pi$ см².

Ответ: $1950 \pi$ см².