Номер 646, страница 95 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

646. Поверхность сферического сегмента относится к площади круга, ограниченного его основанием, как 4 : 3. Найдите, какую часть радиуса составляет высота сегмента.

Обозначим радиус сферы как $R$, высоту сферического сегмента как $h$ и радиус основания сегмента как $r$.

Площадь поверхности сферического сегмента (его сферической части) вычисляется по формуле: $S_{сегм} = 2\pi R h$.

Площадь круга, который является основанием сегмента, вычисляется по формуле: $S_{осн} = \pi r^2$.

По условию задачи, отношение этих площадей равно $4 : 3$:

$\frac{S_{сегм}}{S_{осн}} = \frac{2\pi R h}{\pi r^2} = \frac{4}{3}$

Сократим $\pi$ в левой части уравнения:

$\frac{2 R h}{r^2} = \frac{4}{3}$

Теперь нам нужно связать радиус основания $r$ с радиусом сферы $R$ и высотой сегмента $h$. Рассмотрим осевое сечение сферы, проходящее через центр. В этом сечении мы увидим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — это радиус сферы $R$, один катет — это радиус основания сегмента $r$, а второй катет — это расстояние от центра сферы до основания сегмента, равное $(R-h)$.

По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + (R-h)^2$

Выразим отсюда $r^2$:

$r^2 = R^2 - (R-h)^2 = R^2 - (R^2 - 2Rh + h^2) = 2Rh - h^2$

Подставим полученное выражение для $r^2$ в исходное соотношение:

$\frac{2 R h}{2Rh - h^2} = \frac{4}{3}$

Поскольку высота сегмента $h$ не равна нулю, мы можем сократить дробь в левой части на $h$:

$\frac{2 R}{2R - h} = \frac{4}{3}$

Решим полученное уравнение, используя свойство пропорции:

$3 \cdot (2R) = 4 \cdot (2R - h)$

$6R = 8R - 4h$

Перенесем члены уравнения, чтобы выразить $h$ через $R$:

$4h = 8R - 6R$

$4h = 2R$

$h = \frac{2R}{4} = \frac{1}{2}R$

Таким образом, высота сегмента составляет половину радиуса сферы.

Ответ: $\frac{1}{2}$.