Номер 642, страница 94 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

642. Основание конуса, осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, является большой окружностью сферы. Найдите отношение, в котором линия пересечения разделяет сферу.

Пусть $R$ — радиус основания конуса. По условию, основание конуса является большой окружностью сферы, следовательно, радиус сферы также равен $R$, а центр сферы совпадает с центром основания конуса.

Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Сторона этого треугольника равна диаметру основания конуса, то есть $2R$. Таким образом, образующая конуса $L = 2R$. Высота конуса $H$ является высотой равностороннего треугольника со стороной $2R$ и равна:

$H = \frac{2R \cdot \sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$.

Для нахождения линии пересечения конуса и сферы введем декартову систему координат. Поместим начало координат в центр сферы (и основания конуса), а ось $Oz$ направим вдоль оси конуса. Тогда уравнение сферы имеет вид:

$x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.

Уравнение боковой поверхности конуса, вершина которого находится в точке $(0, 0, H)$, выражается через радиус $r = \sqrt{x^2+y^2}$ на высоте $z$ как $r = R \frac{H-z}{H}$. Возведя в квадрат, получаем $x^2 + y^2 = R^2(1 - \frac{z}{H})^2$. Подставив $H = R\sqrt{3}$, получаем:

$x^2 + y^2 = R^2(1 - \frac{z}{R\sqrt{3}})^2$.

Чтобы найти пересечение, решим систему уравнений для сферы и конуса. Подставим выражение для $x^2 + y^2$ из уравнения конуса в уравнение сферы:

$R^2(1 - \frac{z}{R\sqrt{3}})^2 + z^2 = R^2$

$R^2(1 - \frac{2z}{R\sqrt{3}} + \frac{z^2}{3R^2}) + z^2 = R^2$

$R^2 - \frac{2Rz}{\sqrt{3}} + \frac{z^2}{3} + z^2 = R^2$

$\frac{4z^2}{3} - \frac{2Rz}{\sqrt{3}} = 0$

$z(\frac{4z}{3} - \frac{2R}{\sqrt{3}}) = 0$

Это уравнение имеет два решения для $z$:

1. $z_1 = 0$, что соответствует основанию конуса (большой окружности сферы).
2. $\frac{4z_2}{3} - \frac{2R}{\sqrt{3}} = 0 \implies z_2 = \frac{3 \cdot 2R}{4\sqrt{3}} = \frac{3R}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}R}{2}$.

Таким образом, боковая поверхность конуса пересекает сферу по окружности, лежащей в плоскости $z = \frac{\sqrt{3}R}{2}$. Эта окружность разделяет поверхность сферы на две части (два сферических сегмента).

Площадь поверхности сферического сегмента вычисляется по формуле $S = 2\pi R_{сф} h$, где $R_{сф}$ — радиус сферы, а $h$ — высота сегмента. В нашем случае $R_{сф} = R$.

Высота верхнего (меньшего) сегмента:

$h_1 = R - z_2 = R - \frac{\sqrt{3}R}{2} = \frac{R(2-\sqrt{3})}{2}$.

Площадь его поверхности: $S_1 = 2\pi R h_1 = \pi R^2(2-\sqrt{3})$.

Высота нижнего (большего) сегмента:

$h_2 = z_2 - (-R) = \frac{\sqrt{3}R}{2} + R = \frac{R(2+\sqrt{3})}{2}$.

Площадь его поверхности: $S_2 = 2\pi R h_2 = \pi R^2(2+\sqrt{3})$.

Найдем отношение площадей этих двух частей:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi R^2(2-\sqrt{3})}{\pi R^2(2+\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$.

Упростим полученное выражение, домножив числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $(2-\sqrt{3})$:

$\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{(2-\sqrt{3})^2}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{4 - 4\sqrt{3} + 3}{4 - 3} = 7 - 4\sqrt{3}$.

Таким образом, линия пересечения разделяет поверхность сферы в отношении $(7 - 4\sqrt{3}) : 1$.

Ответ: $(7 - 4\sqrt{3}) : 1$.