Номер 636, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

636. Высота конуса, осевым сечением которого является равносторонний треугольник, является диаметром сферы. Найдите отношение, в котором линия пересечения разделяет сферу.

Пусть радиус сферы равен $R$. Согласно условию, высота конуса $H$ является диаметром сферы, следовательно, $H = 2R$.

Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна $a$. Тогда образующая конуса $L = a$, а радиус основания конуса $r_к = a/2$. Высота конуса $H$ является высотой этого равностороннего треугольника, поэтому $H = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Подставим $H = 2R$ в формулу высоты: $2R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Отсюда выразим сторону треугольника $a$: $a = \frac{4R}{\sqrt{3}}$.

Для нахождения линии пересечения конуса и сферы введем систему координат. Поместим центр сферы в начало координат $O(0,0,0)$. Тогда уравнение сферы имеет вид: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$.

Пусть ось конуса совпадает с осью $OY$. Так как высота конуса является диаметром сферы, вершина конуса будет в точке $V(0, R, 0)$, а основание будет лежать в плоскости $y = -R$.

Уравнение поверхности конуса можно найти из пропорции в осевом сечении (например, в плоскости $XY$). Образующая конуса проходит через точки $V(0, R)$ и точку на окружности основания, например, $P(r_к, -R)$. Уравнение прямой, содержащей образующую, имеет вид: $\frac{x-0}{r_к-0} = \frac{y-R}{-R-R}$. Подставив $r_к = a/2 = \frac{2R}{\sqrt{3}}$, получим: $\frac{x}{2R/\sqrt{3}} = \frac{y-R}{-2R}$. Упростив, получаем $x\sqrt{3} = -(y-R)$, или $x\sqrt{3} = R-y$.

Уравнение поверхности конуса в 3D получается заменой $x$ на $\sqrt{x^2+z^2}$: $\sqrt{3}\sqrt{x^2+z^2} = R-y$. Возведя в квадрат, получим: $3(x^2+z^2) = (R-y)^2$.

Чтобы найти линию пересечения, решим систему уравнений для сферы и конуса:
1) $x^2 + z^2 = R^2 - y^2$
2) $x^2 + z^2 = \frac{(R-y)^2}{3}$

Приравняем правые части: $R^2 - y^2 = \frac{(R-y)^2}{3}$
$3(R^2 - y^2) = (R-y)^2$
$3(R-y)(R+y) = (R-y)^2$

Одно из решений — $R-y=0$, то есть $y=R$. Это соответствует вершине конуса, которая лежит на сфере.

Если $y \ne R$, мы можем сократить на $(R-y)$: $3(R+y) = R-y$
$3R + 3y = R - y$
$4y = -2R$
$y = -\frac{R}{2}$

Таким образом, линия пересечения конуса и сферы — это окружность, лежащая в плоскости $y = -R/2$. Эта плоскость разделяет сферу на два сферических сегмента.

Площадь поверхности сферического сегмента вычисляется по формуле $S = 2\pi R h$, где $R$ — радиус сферы, а $h$ — высота сегмента.

Найдем высоты двух получившихся сегментов:
Высота первого (верхнего) сегмента: $h_1 = R - (-\frac{R}{2}) = \frac{3R}{2}$.
Высота второго (нижнего) сегмента: $h_2 = -\frac{R}{2} - (-R) = \frac{R}{2}$.

Теперь найдем площади поверхностей этих сегментов:
Площадь первого сегмента: $S_1 = 2\pi R h_1 = 2\pi R \left(\frac{3R}{2}\right) = 3\pi R^2$.
Площадь второго сегмента: $S_2 = 2\pi R h_2 = 2\pi R \left(\frac{R}{2}\right) = \pi R^2$.

Отношение площадей этих частей сферы равно: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{3\pi R^2}{\pi R^2} = 3$.

Ответ: 3:1.