Номер 632, страница 93 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

632. Радиусы оснований сферического пояса равны 36 см и 24 см, а его высота — 12 см (рис. 209). Найдите поверхность пояса.

Рис. 209

Решение:

Площадь боковой поверхности сферического пояса (или сферической зоны) вычисляется по формуле $S = 2 \pi R h$, где $R$ — радиус сферы, а $h$ — высота пояса. В условии задачи даны радиусы оснований пояса $r_1 = 36$ см и $r_2 = 24$ см, а также его высота $h = 12$ см. Для вычисления площади поверхности необходимо сначала найти радиус сферы $R$.

Для нахождения радиуса сферы $R$ рассмотрим осевое сечение, проходящее через центр сферы перпендикулярно основаниям пояса. В сечении сфера представляет собой окружность радиуса $R$, а основания пояса — две параллельные хорды. Пусть $d_1$ и $d_2$ — это расстояния от центра сферы до плоскостей оснований с радиусами $r_1$ и $r_2$ соответственно. Из прямоугольных треугольников, образованных радиусом сферы $R$, радиусом основания $r_i$ и расстоянием $d_i$, по теореме Пифагора можно составить систему уравнений:

$R^2 = r_1^2 + d_1^2$

$R^2 = r_2^2 + d_2^2$

Основания сферического пояса расположены по одну сторону от центра сферы. В этом случае высота пояса $h$ равна разности расстояний от центра до оснований: $h = |d_2 - d_1|$. Поскольку радиус $r_1 = 36$ см больше радиуса $r_2 = 24$ см, то плоскость большего основания находится ближе к центру сферы, следовательно, $d_1 < d_2$. Таким образом, $d_2 = d_1 + h = d_1 + 12$.

Приравняем правые части уравнений для $R^2$ и подставим известные значения:

$r_1^2 + d_1^2 = r_2^2 + d_2^2$

$36^2 + d_1^2 = 24^2 + (d_1 + 12)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $d_1$:

$1296 + d_1^2 = 576 + d_1^2 + 24d_1 + 144$

$1296 = 720 + 24d_1$

$24d_1 = 1296 - 720$

$24d_1 = 576$

$d_1 = \frac{576}{24} = 24$ см.

Теперь мы можем найти квадрат радиуса сферы $R^2$, используя первое уравнение:

$R^2 = r_1^2 + d_1^2 = 36^2 + 24^2 = 1296 + 576 = 1872$.

Наконец, вычислим площадь поверхности сферического пояса, подставив найденное значение $R^2$ и данную высоту $h$ в формулу:

$S = 2 \pi R h = 2 \pi h \sqrt{R^2} = 2 \pi \cdot 12 \cdot \sqrt{1872} = 24 \pi \sqrt{1872}$.

Упростим корень из 1872:

$\sqrt{1872} = \sqrt{144 \cdot 13} = 12\sqrt{13}$.

Подставим упрощенное значение в формулу для площади:

$S = 24 \pi \cdot 12\sqrt{13} = 288 \pi \sqrt{13}$ см$^2$.

Ответ: $288 \pi \sqrt{13}$ см$^2$.