Номер 625, страница 92 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

625. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде ребра оснований равны $a$ и $b$, а двугранный угол при основании — $\alpha$ (рис. 207). Найдите радиус сферы, описанной около этой пирамиды, учитывая, что:

а) $a = 6, b = 14, \alpha = 60^{\circ}$;

б) $a = 2, b = 14, \alpha = 45^{\circ}$;

в) $a = 2, b = 14, \alpha = 30^{\circ}$.

Рис. 207

Пусть $R$ — радиус описанной сферы, $O$ — ее центр. В правильной усеченной пирамиде центр описанной сферы лежит на ее высоте (оси симметрии). Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через диагонали оснований. Это сечение представляет собой равнобокую трапецию, вписанную в большую окружность сферы. Вершины этой трапеции являются вершинами пирамиды, и расстояние от них до центра сферы $O$ равно $R$.

Обозначим центры верхнего и нижнего оснований как $O_1$ и $O_2$ соответственно. Высота усеченной пирамиды — это отрезок $h = O_1O_2$. Радиусы окружностей, описанных около оснований (квадратов со сторонами $a$ и $b$), равны:
$r_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (для верхнего основания)
$r_2 = \frac{b\sqrt{2}}{2}$ (для нижнего основания)

Высоту $h$ пирамиды найдем из прямоугольной трапеции в боковом сечении (проходящем через апофемы). Основания этой трапеции равны $a/2$ и $b/2$. Один из углов при большем основании равен двугранному углу $\alpha$.
$h = \frac{b-a}{2} \cdot \tan\alpha$

Пусть центр сферы $O$ находится на расстоянии $y$ от плоскости нижнего основания (от точки $O_2$). Тогда расстояние от $O$ до плоскости верхнего основания (до точки $O_1$) будет $|h-y|$. Из прямоугольных треугольников, образованных радиусом сферы $R$, радиусами описанных окружностей оснований $r_1, r_2$ и расстояниями от центра сферы до плоскостей оснований, получаем систему уравнений:
$R^2 = r_2^2 + y^2$
$R^2 = r_1^2 + (h-y)^2$
Приравнивая правые части, найдем $y$:
$r_2^2 + y^2 = r_1^2 + h^2 - 2hy + y^2$
$r_2^2 - r_1^2 - h^2 = -2hy$
$y = \frac{h^2 + r_1^2 - r_2^2}{2h}$

После нахождения $y$ можно вычислить $R$ по формуле $R = \sqrt{r_2^2 + y^2}$.

а) Дано: $a = 6$, $b = 14$, $\alpha = 60^{\circ}$.
1. Найдем высоту пирамиды $h$:
$h = \frac{14 - 6}{2} \cdot \tan(60^{\circ}) = \frac{8}{2} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
2. Найдем квадраты радиусов описанных окружностей оснований:
$r_1^2 = \left(\frac{6\sqrt{2}}{2}\right)^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
$r_2^2 = \left(\frac{14\sqrt{2}}{2}\right)^2 = (7\sqrt{2})^2 = 98$.
3. Найдем расстояние $y$ от центра сферы до нижнего основания:
$y = \frac{(4\sqrt{3})^2 + 18 - 98}{2 \cdot 4\sqrt{3}} = \frac{48 + 18 - 98}{8\sqrt{3}} = \frac{-32}{8\sqrt{3}} = -\frac{4}{\sqrt{3}}$.
Знак "минус" означает, что центр сферы находится вне пирамиды, ниже большего основания.
4. Найдем радиус сферы $R$:
$R^2 = r_2^2 + y^2 = 98 + \left(-\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 = 98 + \frac{16}{3} = \frac{294+16}{3} = \frac{310}{3}$.
$R = \sqrt{\frac{310}{3}} = \frac{\sqrt{930}}{3}$.
Ответ: $R = \frac{\sqrt{930}}{3}$.

б) Дано: $a = 2$, $b = 14$, $\alpha = 45^{\circ}$.
1. Найдем высоту пирамиды $h$:
$h = \frac{14 - 2}{2} \cdot \tan(45^{\circ}) = \frac{12}{2} \cdot 1 = 6$.
2. Найдем квадраты радиусов описанных окружностей оснований:
$r_1^2 = \left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.
$r_2^2 = \left(\frac{14\sqrt{2}}{2}\right)^2 = (7\sqrt{2})^2 = 98$.
3. Найдем расстояние $y$ от центра сферы до нижнего основания:
$y = \frac{6^2 + 2 - 98}{2 \cdot 6} = \frac{36 + 2 - 98}{12} = \frac{-60}{12} = -5$.
4. Найдем радиус сферы $R$:
$R^2 = r_2^2 + y^2 = 98 + (-5)^2 = 98 + 25 = 123$.
$R = \sqrt{123}$.
Ответ: $R = \sqrt{123}$.

в) Дано: $a = 2$, $b = 14$, $\alpha = 30^{\circ}$.
1. Найдем высоту пирамиды $h$:
$h = \frac{14 - 2}{2} \cdot \tan(30^{\circ}) = \frac{12}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.
2. Найдем квадраты радиусов описанных окружностей оснований:
$r_1^2 = \left(\frac{2\sqrt{2}}{2}\right)^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.
$r_2^2 = \left(\frac{14\sqrt{2}}{2}\right)^2 = (7\sqrt{2})^2 = 98$.
3. Найдем расстояние $y$ от центра сферы до нижнего основания:
$y = \frac{(2\sqrt{3})^2 + 2 - 98}{2 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{12 + 2 - 98}{4\sqrt{3}} = \frac{-84}{4\sqrt{3}} = -\frac{21}{\sqrt{3}} = -7\sqrt{3}$.
4. Найдем радиус сферы $R$:
$R^2 = r_2^2 + y^2 = 98 + (-7\sqrt{3})^2 = 98 + (49 \cdot 3) = 98 + 147 = 245$.
$R = \sqrt{245} = \sqrt{49 \cdot 5} = 7\sqrt{5}$.
Ответ: $R = 7\sqrt{5}$.