Номер 621, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

621. Высота правильной треугольной пирамиды равна 15 см, боковое ребро относится к ребру основания как 2 : 3. Найдите радиус описанной сферы.

Пусть дана правильная треугольная пирамида. Обозначим высоту пирамиды как $H$, боковое ребро как $l$ и ребро основания как $a$.

По условию задачи:

• Высота $H = 15$ см.
• Отношение бокового ребра к ребру основания: $l : a = 2 : 3$.

Введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда $l = 2x$ и $a = 3x$.

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около основания, связан со стороной основания $a$ формулой:

$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим $a = 3x$:

$R_{осн} = \frac{3x}{\sqrt{3}} = x\sqrt{3}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом описанной окружности основания $R_{осн}$ (как катетами) и боковым ребром $l$ (как гипотенузой). По теореме Пифагора:

$l^2 = H^2 + R_{осн}^2$

Подставим в это уравнение известные значения и выражения через $x$:

$(2x)^2 = 15^2 + (x\sqrt{3})^2$

$4x^2 = 225 + 3x^2$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в одну сторону:

$4x^2 - 3x^2 = 225$

$x^2 = 225$

$x = \sqrt{225} = 15$ (так как длина должна быть положительной).

Теперь найдем длину бокового ребра $l$:

$l = 2x = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Для нахождения радиуса $R$ описанной сферы воспользуемся формулой для правильной пирамиды:

$R = \frac{l^2}{2H}$

Подставим значения $l=30$ см и $H=15$ см:

$R = \frac{30^2}{2 \cdot 15} = \frac{900}{30} = 30$ см.

Ответ: 30 см.