Номер 615, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

615. В сферу с радиусом $R$ вписана правильная шестиугольная призма. Радиус, проведенный в вершину основания, образует с боковой гранью угол $45^\circ$. Найдите объем призмы.

Объем призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Пусть дана правильная шестиугольная призма, вписанная в сферу радиуса $R$. Центр сферы $O$ совпадает с центром симметрии призмы. Пусть $H$ — высота призмы, а $a$ — сторона правильного шестиугольника, лежащего в основании.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$ (гипотенуза), проведенным в вершину основания $A$, половиной высоты призмы $H/2$ и радиусом окружности, описанной около основания, который для правильного шестиугольника равен его стороне $a$. По теореме Пифагора имеем:

$R^2 = a^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$ (1)

Теперь используем условие, что радиус сферы, проведенный в вершину основания, образует с боковой гранью угол 45°. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Связанный с ним угол — это угол между прямой и нормалью (перпендикуляром) к плоскости. Если угол между прямой и плоскостью равен $\theta$, то угол $\gamma$ между прямой и нормалью к плоскости равен $90^\circ - \theta$.

В нашем случае $\theta = 45^\circ$, поэтому угол $\gamma$ между радиусом сферы $OA$ и нормалью к боковой грани также равен $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

В качестве нормали к боковой грани можно взять вектор, перпендикулярный этой грани. Пусть $C$ — центр основания, а $M$ — середина стороны основания, примыкающей к вершине $A$. Отрезок $CM$ является апофемой шестиугольника и перпендикулярен стороне основания. Так как боковая грань перпендикулярна основанию, то $CM$ перпендикулярен всей плоскости боковой грани.

Таким образом, угол между радиусом-вектором $\vec{OA}$ и вектором нормали $\vec{CM}$ равен $45^\circ$. Найдем косинус этого угла через скалярное произведение:

$\cos(45^\circ) = \frac{|\vec{OA} \cdot \vec{CM}|}{|\vec{OA}| \cdot |\vec{CM}|}$

Представим вектор $\vec{OA}$ как сумму векторов $\vec{OC}$ и $\vec{CA}$, где $\vec{OC}$ направлен по оси призмы от центра сферы к центру основания. Тогда $\vec{OA} = \vec{OC} + \vec{CA}$.

$\vec{OA} \cdot \vec{CM} = (\vec{OC} + \vec{CA}) \cdot \vec{CM} = \vec{OC} \cdot \vec{CM} + \vec{CA} \cdot \vec{CM}$

Поскольку $\vec{OC}$ перпендикулярен плоскости основания, а $\vec{CM}$ лежит в этой плоскости, их скалярное произведение $\vec{OC} \cdot \vec{CM} = 0$.

Остается найти $\vec{CA} \cdot \vec{CM}$. В плоскости основания $|\vec{CA}| = a$ (радиус описанной окружности), $|\vec{CM}| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (апофема). Угол между радиусом $\vec{CA}$ и апофемой $\vec{CM}$, проведенными к смежным сторонам, равен $30^\circ$.

$\vec{CA} \cdot \vec{CM} = |\vec{CA}| \cdot |\vec{CM}| \cdot \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3a^2}{4}$.

Подставим все в формулу для косинуса угла $\gamma = 45^\circ$:

$\cos(45^\circ) = \frac{\frac{3a^2}{4}}{R \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3a^2 \cdot 2}{4 \cdot R \cdot a\sqrt{3}} = \frac{3a}{2R\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{2R}$

Отсюда $\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{3}}{R}$, что дает $a = R\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{R\sqrt{6}}{3}$.

Теперь найдем $a^2 = \left(\frac{R\sqrt{6}}{3}\right)^2 = \frac{6R^2}{9} = \frac{2R^2}{3}$.

Подставим $a^2$ в уравнение (1), чтобы найти высоту $H$:

$R^2 = \frac{2R^2}{3} + \frac{H^2}{4}$

$\frac{H^2}{4} = R^2 - \frac{2R^2}{3} = \frac{R^2}{3}$

$H^2 = \frac{4R^2}{3} \implies H = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}$.

Площадь основания (правильного шестиугольника со стороной $a$):

$S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2R^2}{3} = \sqrt{3}R^2$.

Наконец, вычисляем объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot H = \sqrt{3}R^2 \cdot \frac{2R\sqrt{3}}{3} = \frac{2R^3 (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{3} = \frac{2R^3 \cdot 3}{3} = 2R^3$.

Ответ: $2R^3$