Номер 613, страница 91 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

613. Одна из граней прямой призмы — равнобедренный треугольник с основанием 6 см и высотой 1 см. Найдите радиус описанной сферы, учитывая, что высота призмы равна 24 см.

Радиус $R$ сферы, описанной около прямой призмы, находится по формуле:$R^2 = R_{осн}^2 + (\frac{H}{2})^2$где $R_{осн}$ — это радиус окружности, описанной около основания призмы, а $H$ — высота призмы.

В основании призмы лежит равнобедренный треугольник. Пусть его основание равно $a=6$ см, а высота, проведенная к основанию, равна $h_a=1$ см. Высота призмы $H = 24$ см.

1. Найдем радиус окружности, описанной около треугольника в основании ($R_{осн}$).Для этого сначала определим длину боковых сторон треугольника. Высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является также и медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка длиной $\frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной ($b$), высотой ($h_a$) и половиной основания ($\frac{a}{2}$). По теореме Пифагора:$b^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$Отсюда боковая сторона $b = \sqrt{10}$ см.

Теперь мы можем найти $R_{осн}$ по формуле $R_{осн} = \frac{abc}{4S}$, где $a, b, c$ - стороны треугольника, а $S$ - его площадь. Стороны треугольника: $6$ см, $\sqrt{10}$ см, $\sqrt{10}$ см. Площадь треугольника:$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = 3$ см$^2$.

Вычисляем радиус описанной окружности:$R_{осн} = \frac{6 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10}}{4 \cdot 3} = \frac{6 \cdot 10}{12} = \frac{60}{12} = 5$ см.

2. Теперь найдем радиус описанной сферы ($R$).Подставим известные значения $R_{осн} = 5$ см и $H = 24$ см в исходную формулу:$R^2 = 5^2 + (\frac{24}{2})^2$$R^2 = 5^2 + 12^2$$R^2 = 25 + 144 = 169$$R = \sqrt{169} = 13$ см.

Ответ: 13 см.