Номер 607, страница 90 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

607. Две сферы с радиусом $r$ касаются друг друга и граней двугранного угла в $60^\circ$. Найдите радиус сферы, касающейся граней угла и обеих сфер.

Для решения задачи введем трехмерную декартову систему координат. Пусть ребро двугранного угла совпадает с осью $Oz$, а его биссектральная плоскость — с плоскостью $xOz$. Грани двугранного угла составляют угол $60^\circ$, поэтому угол между биссектральной плоскостью и каждой из граней равен $30^\circ$.

Центр любой сферы, касающейся обеих граней, должен лежать в биссектральной плоскости $xOz$. Пусть центр такой сферы имеет координаты $(x, 0, z)$, а ее радиус равен $\rho$. Расстояние от центра сферы до граней должно быть равно радиусу. Расстояние от точки $(x, 0, z)$ до одной из граней (например, до плоскости, проходящей через ось $Oz$ и образующей угол $30^\circ$ с плоскостью $xOz$) равно $x \sin(30^\circ)$. Таким образом, для любой такой сферы радиусом $\rho$ и с центром, имеющим координату $x$, выполняется соотношение:$\rho = x \sin(30^\circ) = \frac{x}{2}$, откуда следует, что $x = 2\rho$.

Рассмотрим две данные сферы с радиусом $r$. Пусть их центры — $O_1$ и $O_2$. Их $x$-координата будет одинаковой и равной $x_1 = x_2 = 2r$. Сферы касаются друг друга, поэтому расстояние между их центрами $|O_1O_2|$ равно $r+r=2r$. Из соображений симметрии можно расположить центры этих сфер симметрично относительно плоскости $xOy$. Тогда их координаты будут $O_1(2r, 0, z_0)$ и $O_2(2r, 0, -z_0)$ для некоторого $z_0 > 0$.

Найдем $z_0$ из условия касания сфер:$|O_1O_2| = \sqrt{(2r - 2r)^2 + (0 - 0)^2 + (-z_0 - z_0)^2} = \sqrt{(-2z_0)^2} = 2z_0$. Так как $|O_1O_2| = 2r$, получаем $2z_0 = 2r$, откуда $z_0=r$. Итак, координаты центров двух данных сфер: $O_1(2r, 0, r)$ и $O_2(2r, 0, -r)$.

Теперь рассмотрим искомую сферу. Пусть ее радиус равен $R$, а центр — $O_3$. Ее центр также лежит в биссектральной плоскости, и его $x$-координата равна $x_3 = 2R$. Искомая сфера касается обеих данных сфер, поэтому ее центр $O_3$ равноудален от центров $O_1$ и $O_2$. Геометрическое место таких точек — плоскость, перпендикулярная отрезку $O_1O_2$ и проходящая через его середину. Середина отрезка $O_1O_2$ — точка $(2r, 0, 0)$, а перпендикулярная плоскость — это плоскость $z=0$ (плоскость $xOy$).Следовательно, центр $O_3$ лежит в плоскости $xOy$, и его координаты $O_3(2R, 0, 0)$.

Условие касания искомой сферы и одной из данных сфер (например, первой) означает, что расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $|O_1O_3| = R+r$. Вычислим расстояние $|O_1O_3|$:$|O_1O_3| = \sqrt{(2R - 2r)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - r)^2} = \sqrt{4(R-r)^2 + r^2}$.

Составим и решим уравнение:$\sqrt{4(R-r)^2 + r^2} = R+r$. Возведем обе части уравнения в квадрат:$4(R-r)^2 + r^2 = (R+r)^2$$4(R^2 - 2Rr + r^2) + r^2 = R^2 + 2Rr + r^2$$4R^2 - 8Rr + 4r^2 + r^2 = R^2 + 2Rr + r^2$$4R^2 - 8Rr + 5r^2 = R^2 + 2Rr + r^2$Приведем подобные члены:$3R^2 - 10Rr + 4r^2 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $R$. Решим его с помощью дискриминанта:$D = (-10r)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (4r^2) = 100r^2 - 48r^2 = 52r^2$. Корни уравнения:$R = \frac{10r \pm \sqrt{52r^2}}{2 \cdot 3} = \frac{10r \pm \sqrt{4 \cdot 13 \cdot r^2}}{6} = \frac{10r \pm 2r\sqrt{13}}{6} = \frac{r(5 \pm \sqrt{13})}{3}$.

Оба решения являются физически возможными. Одно решение ($R = r\frac{5-\sqrt{13}}{3}$) соответствует меньшей сфере, расположенной между данными сферами и ребром двугранного угла. Второе решение ($R = r\frac{5+\sqrt{13}}{3}$) соответствует большей сфере, которая касается данных сфер с противоположной стороны.

Ответ: $r\frac{5 - \sqrt{13}}{3}$ или $r\frac{5 + \sqrt{13}}{3}$.