Номер 602, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

602. Сторона основания описанной около сферы правильной призмы равна $a$. Найдите ее объем, учитывая, что призма:

а) треугольная;

б) шестиугольная.

Общая формула для объема призмы: $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота призмы.

Если призма описана около сферы, то сфера вписана в призму. Это означает, что все грани призмы (оба основания и все боковые грани) касаются сферы. Из этого следует два важных факта:

1. Высота призмы $H$ равна диаметру вписанной сферы $2R$, где $R$ - радиус сферы.
2. Окружность, полученная сечением сферы плоскостью, проходящей через центр сферы параллельно основаниям, является вписанной в многоугольник основания. Радиус этой окружности равен радиусу сферы $R$.

а) треугольная

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$.

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, находится по формуле: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Радиус вписанной сферы $R$ равен радиусу окружности, вписанной в основание, то есть $R = r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Высота призмы $H$ равна диаметру сферы: $H = 2R = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Площадь основания $S_{осн}$ (площадь правильного треугольника): $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Теперь вычислим объем призмы: $V = S_{осн} \cdot H = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{a^3 \cdot (\sqrt{3})^2}{12} = \frac{3a^3}{12} = \frac{a^3}{4}$.

Ответ: $\frac{a^3}{4}$.

б) шестиугольная

Основанием призмы является правильный шестиугольник со стороной $a$.

Радиус $r$ окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a$, находится по формуле: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Радиус вписанной сферы $R$ равен радиусу окружности, вписанной в основание: $R = r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Высота призмы $H$ равна диаметру сферы: $H = 2R = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

Площадь основания $S_{осн}$ (площадь правильного шестиугольника) равна сумме площадей шести правильных треугольников со стороной $a$: $S_{осн} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$.

Теперь вычислим объем призмы: $V = S_{осн} \cdot H = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot (a\sqrt{3}) = \frac{3a^3 \cdot (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{3a^3 \cdot 3}{2} = \frac{9a^3}{2}$.

Ответ: $\frac{9a^3}{2}$.