Номер 599, страница 89 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

599. Вокруг сферы описана правильная усеченная четырехугольная пирамида. Сторона большего основания равна $a$ см, а сторона меньшего основания — $b$ см. Найдите поверхность и объем усеченной пирамиды.

Полная поверхность усеченной пирамиды $S_{полн}$ складывается из площадей двух оснований (нижнего $S_{нижн}$ и верхнего $S_{верх}$) и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верх} + S_{бок}$

Основаниями правильной усеченной четырехугольной пирамиды являются квадраты со сторонами $a$ и $b$. Их площади равны:

$S_{нижн} = a^2$

$S_{верх} = b^2$

Боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных трапеций. Площадь боковой поверхности вычисляется как произведение полусуммы периметров оснований на апофему $l_a$ (высоту боковой грани):

$S_{бок} = \frac{P_{нижн} + P_{верх}}{2} \cdot l_a = \frac{4a + 4b}{2} \cdot l_a = 2(a+b)l_a$

Поскольку в усеченную пирамиду вписана сфера, то в любое осевое сечение, проходящее через середины противоположных сторон оснований, можно вписать окружность (большой круг сферы). Такое сечение является равнобедренной трапецией с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами, равными апофеме $l_a$.

В описанной около окружности трапеции суммы длин противоположных сторон равны:

$a + b = l_a + l_a = 2l_a$

Отсюда находим апофему:

$l_a = \frac{a+b}{2}$

Подставим значение апофемы в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = 2(a+b) \cdot \frac{a+b}{2} = (a+b)^2$

Теперь найдем полную поверхность пирамиды:

$S_{полн} = S_{нижн} + S_{верх} + S_{бок} = a^2 + b^2 + (a+b)^2 = a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 = 2(a^2 + ab + b^2)$

Ответ: $2(a^2 + ab + b^2)$ см².

Объем усеченной пирамиды находится по формуле:

$V = \frac{1}{3}H(S_{нижн} + S_{верх} + \sqrt{S_{нижн}S_{верх}})$

где $H$ — высота пирамиды, $S_{нижн}$ и $S_{верх}$ — площади оснований.

Высоту $H$ найдем из того же осевого сечения. Высота этой трапеции равна высоте пирамиды $H$. Также высота этой описанной трапеции равна диаметру вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, боковой стороной $l_a$ и отрезком $\frac{a-b}{2}$, по теореме Пифагора:

$l_a^2 = H^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

Используя найденное ранее соотношение $l_a = \frac{a+b}{2}$, получим:

$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = H^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$

Выразим отсюда $H^2$:

$H^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4} = \frac{4ab}{4} = ab$

Таким образом, высота пирамиды $H = \sqrt{ab}$.

Подставим значения $H$, $S_{нижн}=a^2$ и $S_{верх}=b^2$ в формулу объема:

$V = \frac{1}{3}\sqrt{ab}(a^2 + b^2 + \sqrt{a^2 b^2}) = \frac{1}{3}\sqrt{ab}(a^2 + b^2 + ab)$

Ответ: $\frac{1}{3}(a^2 + ab + b^2)\sqrt{ab}$ см³.