Номер 593, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

593*. Сфера касается основания $A_1B_1C_1D_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 2. Найдите ее радиус, учитывая, что сфера касается лучей $AB_1, BC_1, CD_1, DA_1$ за точками $B_1, C_1, D_1, A_1$.

Введем прямоугольную систему координат, поместив вершину $A$ куба в начало координат. Пусть ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Так как ребро куба равно 2, то координаты вершин будут следующими:$A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$, $C(2, 2, 0)$, $D(0, 2, 0)$,$A_1(0, 0, 2)$, $B_1(2, 0, 2)$, $C_1(2, 2, 2)$, $D_1(0, 2, 2)$.

Пусть $O(x_0, y_0, z_0)$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Лучи $AB_1$, $BC_1$, $CD_1$ и $DA_1$ симметричны относительно прямой, проходящей через центры оснований куба. Эта прямая задается уравнениями $x=1, y=1$. Так как сфера касается всех четырех лучей, ее центр должен лежать на этой оси симметрии. Следовательно, координаты центра сферы $O(1, 1, z_0)$.

По условию, сфера касается основания $A_1B_1C_1D_1$. Плоскость этого основания задается уравнением $z=2$. Расстояние от центра сферы $O(1, 1, z_0)$ до этой плоскости равно радиусу $R$.$|z_0 - 2| = R$Отсюда возможны два случая:1) Сфера находится ниже плоскости $A_1B_1C_1D_1$, тогда $z_0 < 2$ и $2 - z_0 = R \Rightarrow z_0 = 2 - R$.2) Сфера находится выше плоскости $A_1B_1C_1D_1$, тогда $z_0 > 2$ и $z_0 - 2 = R \Rightarrow z_0 = 2 + R$.

Рассмотрим условие касания сферы луча $AB_1$. Этот луч проходит через точки $A(0, 0, 0)$ и $B_1(2, 0, 2)$. Направляющий вектор прямой $AB_1$ равен $\vec{s} = \vec{AB_1} = (2, 0, 2)$. Расстояние от точки $O(x_0, y_0, z_0)$ до прямой, проходящей через точку $A(x_A, y_A, z_A)$ с направляющим вектором $\vec{s}$, вычисляется по формуле:$d = \frac{|\vec{AO} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$В нашем случае $\vec{AO} = (1, 1, z_0)$. Найдем векторное произведение:$\vec{AO} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & z_0 \\ 2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(2-0) - \vec{j}(2 - 2z_0) + \vec{k}(0-2) = (2, 2z_0 - 2, -2)$Модуль этого вектора:$|\vec{AO} \times \vec{s}| = \sqrt{2^2 + (2z_0 - 2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4(z_0-1)^2 + 4} = \sqrt{8 + 4(z_0-1)^2} = 2\sqrt{2 + (z_0-1)^2}$Модуль направляющего вектора:$|\vec{s}| = \sqrt{2^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$Расстояние от центра сферы до прямой $AB_1$ равно радиусу $R$:$R = d = \frac{2\sqrt{2 + (z_0-1)^2}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{2 + (z_0-1)^2}{2}}$$R^2 = \frac{2 + (z_0-1)^2}{2} \Rightarrow 2R^2 = 2 + (z_0-1)^2$

Теперь рассмотрим два случая для $z_0$:
Случай 1: $z_0 = 2 - R$Подставим $z_0$ в полученное уравнение:$2R^2 = 2 + ( (2-R) - 1 )^2$$2R^2 = 2 + (1-R)^2$$2R^2 = 2 + 1 - 2R + R^2$$R^2 + 2R - 3 = 0$Решая квадратное уравнение, находим корни: $R_1 = 1$, $R_2 = -3$. Так как радиус не может быть отрицательным, получаем $R=1$.

Проверим дополнительное условие: сфера касается луча $AB_1$ за точкой $B_1$. Это означает, что точка касания $T$ лежит на луче $AB_1$ дальше от начала луча ($A$), чем точка $B_1$. Уравнение луча $AB_1$: $\vec{r}(t) = \vec{A} + t \cdot \vec{AB_1} = (2t, 0, 2t)$, где $t \ge 0$. Точке $A$ соответствует $t=0$, точке $B_1$ — $t=1$. Условие "за точкой $B_1$" означает, что для точки касания $t > 1$. Точка касания $T$ является проекцией центра $O$ на прямую $AB_1$. Вектор $\vec{OT}$ должен быть перпендикулярен направляющему вектору $\vec{s}$.$O(1, 1, 2-R) = (1, 1, 1)$ (так как $R=1$).$T(2t, 0, 2t)$.$\vec{OT} = (2t-1, -1, 2t-1)$.$\vec{OT} \cdot \vec{s} = 0 \Rightarrow (2t-1) \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + (2t-1) \cdot 2 = 0$$4(2t-1) = 0 \Rightarrow t = 1/2$. Поскольку $t = 1/2 < 1$, точка касания лежит между $A$ и $B_1$. Этот случай не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: $z_0 = 2 + R$Подставим $z_0$ в уравнение $2R^2 = 2 + (z_0-1)^2$:$2R^2 = 2 + ( (2+R) - 1 )^2$$2R^2 = 2 + (1+R)^2$$2R^2 = 2 + 1 + 2R + R^2$$R^2 - 2R - 3 = 0$Решая квадратное уравнение, находим корни: $R_1 = 3$, $R_2 = -1$. Так как радиус положителен, $R=3$.

Проверим условие касания "за точкой $B_1$". При $R=3$ центр сферы $O(1, 1, 2+R) = (1, 1, 5)$. Найдем параметр $t$ для точки касания $T$:$\vec{OT} = (2t-1, -1, 2t-5)$.$\vec{OT} \cdot \vec{s} = 0 \Rightarrow (2t-1) \cdot 2 + (-1) \cdot 0 + (2t-5) \cdot 2 = 0$$2(2t-1) + 2(2t-5) = 0$$2t-1 + 2t-5 = 0$$4t = 6 \Rightarrow t = 3/2$. Поскольку $t = 3/2 > 1$, точка касания действительно лежит на луче $AB_1$ за точкой $B_1$. Этот случай удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 3