Номер 586, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

586*. Вокруг сферы описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны $a$ и $b$ (рис. 197). Найдите полную поверхность этого параллелепипеда и радиус сферы.

Рис. 197

Поскольку прямой параллелепипед описан вокруг сферы, это накладывает на него определенные условия. Во-первых, его основанием должен быть многоугольник, в который можно вписать окружность. Для параллелограмма это означает, что он должен быть ромбом. Во-вторых, высота параллелепипеда должна быть равна диаметру вписанной сферы. Также, высота ромба в основании должна быть равна диаметру вписанной в него окружности, который, в свою очередь, равен диаметру сферы.

Пусть $H$ – высота параллелепипеда, $R$ – радиус сферы, $c$ – сторона ромба в основании, $h_{ромба}$ – высота ромба. Тогда $H = h_{ромба} = 2R$. Диагонали ромба равны $a$ и $b$.

Радиус сферы

Сначала найдем сторону ромба $c$. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами $\frac{a}{2}$ и $\frac{b}{2}$. Сторона ромба $c$ является гипотенузой в этих треугольниках. По теореме Пифагора:

$c^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2 + b^2}{4}$

$c = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$

Площадь ромба $S_{осн}$ можно вычислить двумя способами:

1. Через диагонали: $S_{осн} = \frac{1}{2}ab$

2. Через сторону и высоту: $S_{осн} = c \cdot h_{ромба} = c \cdot 2R$

Приравняем оба выражения для площади, чтобы найти радиус $R$:

$\frac{1}{2}ab = c \cdot 2R$

Подставим найденное выражение для $c$:

$\frac{1}{2}ab = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \cdot 2R$

$\frac{1}{2}ab = R\sqrt{a^2 + b^2}$

Отсюда выражаем радиус:

$R = \frac{ab}{2\sqrt{a^2 + b^2}}$

Ответ: $R = \frac{ab}{2\sqrt{a^2 + b^2}}$

Полная поверхность этого параллелепипеда

Полная поверхность параллелепипеда $S_{полн}$ складывается из площади двух оснований $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

Площадь двух оснований равна:

$2S_{осн} = 2 \cdot (\frac{1}{2}ab) = ab$

Площадь боковой поверхности - это произведение периметра основания $P_{осн}$ на высоту параллелепипеда $H$.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot H$

Периметр основания (ромба) равен $P_{осн} = 4c = 4 \cdot \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.

Высота параллелепипеда $H$ равна диаметру сферы $2R$:

$H = 2R = 2 \cdot \frac{ab}{2\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = (2\sqrt{a^2 + b^2}) \cdot \left(\frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right) = 2ab$

Наконец, найдем полную поверхность:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = ab + 2ab = 3ab$

Ответ: $S_{полн} = 3ab$