Номер 591, страница 88 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

591. Найдите площадь сферы, описанной вокруг конуса, у которого радиус основания равен $r$, а высота равна $h$ (рис. 200).

Рис. 200

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле $S = 4\pi R^2$, где $R$ – радиус сферы. Чтобы найти площадь, нам необходимо выразить радиус описанной сферы $R$ через радиус основания конуса $r$ и его высоту $h$.

Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением сферы является её большая окружность радиуса $R$, а сечением конуса – равнобедренный треугольник с высотой $h$ и основанием $2r$. Этот треугольник вписан в большую окружность сферы.

Центр описанной окружности (и, соответственно, центр сферы) лежит на оси конуса, которая является высотой равнобедренного треугольника в сечении. Обозначим радиус сферы как $R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания конуса $r$ и расстояние от центра сферы до центра основания конуса, а гипотенузой – радиус сферы $R$, проведенный к точке на окружности основания конуса.

Расстояние от центра сферы до вершины конуса также равно $R$. Поэтому расстояние от центра сферы до центра основания конуса равно $|h - R|$.

Применим теорему Пифагора для указанного прямоугольного треугольника:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$

Теперь решим это уравнение относительно $R$:
$R^2 = r^2 + h^2 - 2hR + R^2$
Перенесем члены с $R^2$ и $R$ в одну сторону:
$2hR = r^2 + h^2$
Отсюда находим радиус сферы:
$R = \frac{r^2 + h^2}{2h}$

Подставим найденное выражение для $R$ в формулу площади поверхности сферы:
$S = 4\pi R^2 = 4\pi \left(\frac{r^2 + h^2}{2h}\right)^2$
$S = 4\pi \frac{(r^2 + h^2)^2}{(2h)^2} = 4\pi \frac{(r^2 + h^2)^2}{4h^2}$
$S = \frac{\pi (r^2 + h^2)^2}{h^2}$

Ответ: $S = \frac{\pi (r^2 + h^2)^2}{h^2}$