Номер 587, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

587. Вокруг сферы с радиусом $R$ описана правильная шестиугольная призма. Найдите ее полную поверхность.

Полная поверхность правильной шестиугольной призмы ($S_{полн}$) вычисляется как сумма площадей двух оснований ($S_{осн}$) и площади боковой поверхности ($S_{бок}$).
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$

Поскольку призма описана вокруг сферы радиусом $R$, сфера касается всех граней призмы. Из этого следует:
1. Высота призмы $H$ равна диаметру сферы, так как сфера касается верхнего и нижнего оснований.
$H = 2R$
2. В основание призмы (правильный шестиугольник) вписана большая окружность сферы. Радиус этой вписанной окружности равен радиусу сферы $R$.

Для правильного шестиугольника со стороной $a$ радиус вписанной окружности $r$ находится по формуле $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. В нашем случае $r=R$, поэтому:
$R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
Отсюда мы можем выразить сторону основания $a$:
$a = \frac{2R}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем площадь основания. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$
Подставим найденное значение $a$:
$S_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{2R}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4R^2}{3} = 2\sqrt{3}R^2$

Далее найдем площадь боковой поверхности. Она равна произведению периметра основания $P$ на высоту призмы $H$.
Периметр основания $P = 6a = 6 \cdot \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{12R}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}R}{3} = 4\sqrt{3}R$.
$S_{бок} = P \cdot H = (4\sqrt{3}R) \cdot (2R) = 8\sqrt{3}R^2$

Наконец, вычислим полную поверхность призмы:
$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot (2\sqrt{3}R^2) + 8\sqrt{3}R^2 = 4\sqrt{3}R^2 + 8\sqrt{3}R^2 = 12\sqrt{3}R^2$

Ответ: $12\sqrt{3}R^2$