Номер 582, страница 87 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

582. Плоскость пересекает сферу с радиусом 25 см. Найдите, в каком отношении эта плоскость разделяет площадь сферы, учитывая, что площадь круга, ограниченного сечением, равна $49\pi \text{ см}^2$.

Пусть $R$ — радиус сферы, а $r$ — радиус круга, образованного сечением. По условию, $R = 25$ см, а площадь круга в сечении $S_{сеч} = 49\pi$ см².

Сначала найдем радиус $r$ круга в сечении, используя формулу площади круга $S = \pi r^2$:

$\pi r^2 = 49\pi$

$r^2 = 49$

$r = 7$ см.

Далее, найдем расстояние $d$ от центра сферы до плоскости сечения. Радиус сферы $R$, радиус сечения $r$ и расстояние $d$ образуют прямоугольный треугольник, где $R$ является гипотенузой. По теореме Пифагора:

$R^2 = r^2 + d^2$

Отсюда, $d^2 = R^2 - r^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$.

$d = \sqrt{576} = 24$ см.

Плоскость сечения делит поверхность сферы на две части, которые называются сферическими сегментами (или шапками). Высоты этих шапок, $h_1$ и $h_2$, можно найти следующим образом:

Высота меньшей шапки: $h_1 = R - d = 25 - 24 = 1$ см.

Высота большей шапки: $h_2 = R + d = 25 + 24 = 49$ см.

Площадь поверхности сферической шапки вычисляется по формуле $S_{шапки} = 2 \pi R h$. Найдем площади двух частей сферы:

Площадь меньшей части: $S_1 = 2 \pi R h_1 = 2 \pi \cdot 25 \cdot 1 = 50\pi$ см².

Площадь большей части: $S_2 = 2 \pi R h_2 = 2 \pi \cdot 25 \cdot 49 = 2450\pi$ см².

Теперь найдем отношение площадей этих частей:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{50\pi}{2450\pi} = \frac{50}{2450} = \frac{1}{49}$.

Следовательно, плоскость разделяет площадь сферы в отношении $1:49$.

Ответ: $1:49$.