Номер 575, страница 86 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

Рис. 193

575. Линия пересечения двух сфер с радиусами 25 см и 30 см имеет длину $48\pi$ см (рис. 193). Найдите расстояние между центрами сфер.

Линия пересечения двух сфер представляет собой окружность. Длина этой окружности (ее circumference) задана в условии и равна $L = 48\pi$ см.

1. Найдем радиус окружности пересечения.

Формула длины окружности: $L = 2\pi r$, где $r$ – радиус окружности. Подставим известные значения:$48\pi = 2\pi r$Разделим обе части на $2\pi$:$r = \frac{48\pi}{2\pi} = 24$ см.

2. Рассмотрим осевое сечение.

Осевое сечение, проходящее через центры обеих сфер, представляет собой два пересекающихся круга. Радиус окружности пересечения ($r = 24$ см) является катетом в двух прямоугольных треугольниках. Гипотенузами в этих треугольниках являются радиусы сфер ($R_1 = 25$ см и $R_2 = 30$ см), а вторыми катетами – расстояния от центров каждой из сфер до плоскости пересечения ($d_1$ и $d_2$).

3. Найдем расстояние от центра первой сферы до плоскости пересечения ($d_1$).

Используем теорему Пифагора для первого треугольника:$R_1^2 = r^2 + d_1^2$$25^2 = 24^2 + d_1^2$$625 = 576 + d_1^2$$d_1^2 = 625 - 576 = 49$$d_1 = \sqrt{49} = 7$ см.

4. Найдем расстояние от центра второй сферы до плоскости пересечения ($d_2$).

Используем теорему Пифагора для второго треугольника:$R_2^2 = r^2 + d_2^2$$30^2 = 24^2 + d_2^2$$900 = 576 + d_2^2$$d_2^2 = 900 - 576 = 324$$d_2 = \sqrt{324} = 18$ см.

5. Найдем расстояние между центрами сфер.

Как показано на рисунке 193, возможны два случая расположения центров сфер относительно плоскости их пересечения:

Случай 1: Центры сфер находятся по разные стороны от плоскости пересечения (левый рисунок). В этом случае расстояние между центрами $d$ равно сумме расстояний $d_1$ и $d_2$:$d = d_1 + d_2 = 7 + 18 = 25$ см.

Случай 2: Центры сфер находятся по одну сторону от плоскости пересечения (правый рисунок). В этом случае расстояние между центрами $d$ равно разности расстояний $d_2$ и $d_1$:$d = d_2 - d_1 = 18 - 7 = 11$ см.

Так как условие задачи не уточняет взаимное расположение сфер, возможны оба варианта.

Ответ: 25 см или 11 см.