Номер 574, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

574. Расстояние между центрами двух сфер равно 21 см. Найдите длину линии пересечения этих сфер, учитывая, что их радиусы равны 41 см и 50 см.

Пусть центры двух сфер — $O_1$ и $O_2$, их радиусы — $R_1 = 41$ см и $R_2 = 50$ см, а расстояние между центрами — $d = 21$ см.

Линия пересечения двух сфер представляет собой окружность. Чтобы найти длину этой линии (окружности), необходимо сначала найти её радиус $r$.

Рассмотрим осевое сечение, проходящее через центры сфер $O_1$ и $O_2$. В этом сечении мы получим треугольник $\triangle O_1AO_2$, где $A$ — любая точка на окружности пересечения. Стороны этого треугольника равны $O_1A = R_1 = 41$ см, $O_2A = R_2 = 50$ см и $O_1O_2 = d = 21$ см. Радиус $r$ окружности пересечения является высотой этого треугольника, проведенной из вершины $A$ к стороне $O_1O_2$.

Найдем площадь $S$ треугольника $\triangle O_1AO_2$ по формуле Герона. Сначала вычислим полупериметр $p$: $p = \frac{d + R_1 + R_2}{2} = \frac{21 + 41 + 50}{2} = \frac{112}{2} = 56$ см.

Теперь вычислим площадь $S$: $S = \sqrt{p(p-d)(p-R_1)(p-R_2)} = \sqrt{56(56-21)(56-41)(56-50)}$ $S = \sqrt{56 \cdot 35 \cdot 15 \cdot 6} = \sqrt{(7 \cdot 8) \cdot (7 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{7^2 \cdot 16 \cdot 5^2 \cdot 3^2}$ $S = 7 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 3 = 420$ см$^2$.

С другой стороны, площадь треугольника можно выразить через его основание $d$ и высоту $r$: $S = \frac{1}{2} d \cdot r$. Отсюда можем найти радиус $r$: $420 = \frac{1}{2} \cdot 21 \cdot r$ $840 = 21 \cdot r$ $r = \frac{840}{21} = 40$ см.

Зная радиус окружности пересечения $r = 40$ см, найдем её длину $L$ по формуле $L = 2\pi r$: $L = 2 \pi \cdot 40 = 80\pi$ см.

Ответ: $80\pi$ см.