Номер 567, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

567. Из точки $M$ к сфере можно провести три взаимно перпендикулярные касательные (рис. 189). Найдите расстояние от точки $M$ до центра сферы, учитывая, что радиус сферы равен $R$.

Рис. 189

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — её радиус. Пусть $A$, $B$ и $C$ — точки касания трех взаимно перпендикулярных касательных, проведенных из точки $M$ к сфере.

По условию задачи, касательные $MA$, $MB$ и $MC$ взаимно перпендикулярны:

$MA \perp MB$, $MB \perp MC$, $MC \perp MA$.

По свойству касательной к сфере, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, треугольники $\triangle OAM$, $\triangle OBM$ и $\triangle OCM$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершинах $A$, $B$ и $C$ соответственно. Также, по определению, длины радиусов равны: $OA = OB = OC = R$.

Применим теорему Пифагора для этих треугольников:

$OM^2 = OA^2 + MA^2 = R^2 + MA^2$

$OM^2 = OB^2 + MB^2 = R^2 + MB^2$

$OM^2 = OC^2 + MC^2 = R^2 + MC^2$

Из этих равенств следует, что длины отрезков касательных, проведенных из одной точки, равны: $MA = MB = MC$. Обозначим эту длину через $L$.

Для решения задачи удобно ввести декартову систему координат. Поместим точку $M$ в начало координат $(0, 0, 0)$. Так как отрезки $MA$, $MB$ и $MC$ взаимно перпендикулярны, направим оси координат вдоль них. Пусть ось $Ox$ проходит через точку $A$, ось $Oy$ — через точку $B$, а ось $Oz$ — через точку $C$.

В этой системе координат точки касания будут иметь следующие координаты:

$A(L, 0, 0)$, $B(0, L, 0)$, $C(0, 0, L)$.

Пусть центр сферы $O$ имеет координаты $(x, y, z)$.

Условие перпендикулярности радиуса $OA$ и касательной $MA$ означает, что скалярное произведение векторов $\vec{OA}$ и $\vec{MA}$ равно нулю. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{MA} = (L-0, 0-0, 0-0) = (L, 0, 0)$

$\vec{OA} = (L-x, 0-y, 0-z) = (L-x, -y, -z)$

$\vec{OA} \cdot \vec{MA} = (L-x) \cdot L + (-y) \cdot 0 + (-z) \cdot 0 = 0$

Поскольку $L$ (длина касательной) не равна нулю, то $L-x=0$, откуда $x=L$.

Аналогично, из условия $OB \perp MB$ для векторов $\vec{OB}=(-x, L-y, -z)$ и $\vec{MB}=(0, L, 0)$ получаем:

$\vec{OB} \cdot \vec{MB} = (-x) \cdot 0 + (L-y) \cdot L + (-z) \cdot 0 = 0 \implies L-y=0 \implies y=L$.

И из условия $OC \perp MC$ для векторов $\vec{OC}=(-x, -y, L-z)$ и $\vec{MC}=(0, 0, L)$ получаем:

$\vec{OC} \cdot \vec{MC} = (-x) \cdot 0 + (-y) \cdot 0 + (L-z) \cdot L = 0 \implies L-z=0 \implies z=L$.

Таким образом, центр сферы имеет координаты $O(L, L, L)$.

Теперь найдем связь между $L$ и $R$. Расстояние от центра сферы $O(L, L, L)$ до любой точки касания, например $A(L, 0, 0)$, равно радиусу $R$.

$R^2 = OA^2 = (L-L)^2 + (L-0)^2 + (L-0)^2 = 0^2 + L^2 + L^2 = 2L^2$.

Отсюда мы можем выразить $L^2$ через $R^2$: $L^2 = \frac{R^2}{2}$.

Наконец, найдем искомое расстояние $OM$. Это расстояние от точки $M(0, 0, 0)$ до точки $O(L, L, L)$.

$OM^2 = (L-0)^2 + (L-0)^2 + (L-0)^2 = L^2 + L^2 + L^2 = 3L^2$.

Подставим в это выражение найденное значение $L^2$:

$OM^2 = 3 \left( \frac{R^2}{2} \right) = \frac{3R^2}{2}$.

Извлекая квадратный корень, получаем расстояние $OM$:

$OM = \sqrt{\frac{3R^2}{2}} = R\sqrt{\frac{3}{2}} = R\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = R\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: $R\frac{\sqrt{6}}{2}$.