Номер 562, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

562. Площади оснований усеченного конуса равны $a^2$ и $b^2$. Плоскости, параллельные основаниям, разделяют боковое ребро на $n$ долей. Найдите площади сечений.

Пусть $S_1 = a^2$ и $S_2 = b^2$ — площади оснований усеченного конуса. Рассмотрим полный конус, из которого получен данный усеченный конус. Любое сечение, параллельное основанию, является фигурой, подобной основанию. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия, в свою очередь, линейно зависит от расстояния от сечения до вершины конуса.

Отсюда следует, что корень квадратный из площади сечения является линейной функцией высоты. Обозначим $r = \sqrt{S}$. Для оснований усеченного конуса имеем $r_1 = \sqrt{a^2} = a$ и $r_2 = \sqrt{b^2} = b$. Без ограничения общности, пусть сечения нумеруются от основания с площадью $b^2$ к основанию с площадью $a^2$.

Плоскости, параллельные основаниям, разделяют боковое ребро (образующую) на $n$ равных долей. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщенной теореме Фалеса), эти плоскости также разделяют высоту усеченного конуса на $n$ равных частей.

Поскольку "линейная мера" $r = \sqrt{S}$ является линейной функцией высоты, то ее значения для равноотстоящих сечений будут образовывать арифметическую прогрессию. Обозначим "линейные меры" сечений через $r_k = \sqrt{S_k}$, где $S_k$ — площадь $k$-го сечения. Мы имеем $n-1$ сечений, которые вместе с двумя основаниями образуют $n+1$ параллельных круга. Значения их "линейных мер" $r_0, r_1, \dots, r_{n-1}, r_n$ образуют арифметическую прогрессию, где $r_0 = b$ и $r_n = a$.

Найдем $k$-й член этой прогрессии, где $k$ изменяется от $1$ до $n-1$. Разность арифметической прогрессии $d$ можно найти из формулы $n$-го члена:

$r_n = r_0 + n \cdot d$

$a = b + n \cdot d$

$d = \frac{a-b}{n}$

Теперь найдем "линейную меру" для $k$-го сечения по формуле $k$-го члена арифметической прогрессии:

$r_k = r_0 + k \cdot d = b + k \frac{a-b}{n}$

Преобразуем это выражение:

$r_k = \frac{nb + k(a-b)}{n} = \frac{nb + ka - kb}{n} = \frac{ka + (n-k)b}{n}$

Площадь $k$-го сечения $S_k$ равна квадрату его "линейной меры" $r_k$:

$S_k = r_k^2 = \left( \frac{ka + (n-k)b}{n} \right)^2$

Эта формула дает площади для $k = 1, 2, \dots, n-1$.

Ответ: Площади сечений определяются формулой $S_k = \left( \frac{ka + (n-k)b}{n} \right)^2$, где $k = 1, 2, \dots, n-1$.