Номер 557, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

557. Радиусы оснований усеченного конуса равны 12 см и 32 см, высота относится к образующей как 12 : 13. Найдите боковую поверхность и объем этого конуса.

Обозначим радиусы оснований усеченного конуса как $R$ (больший) и $r$ (меньший), высоту как $h$, а образующую как $l$.
По условию задачи:
$R = 32$ см
$r = 12$ см
$\frac{h}{l} = \frac{12}{13}$

Для нахождения боковой поверхности и объема нам необходимо найти значения высоты $h$ и образующей $l$. Связь между этими величинами в усеченном конусе определяется через прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, образующей $l$ (в качестве гипотенузы) и разностью радиусов оснований $(R-r)$ (в качестве катета). По теореме Пифагора:
$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Из заданного отношения $\frac{h}{l} = \frac{12}{13}$ можно выразить $h$ и $l$ через коэффициент пропорциональности $x$:
$h = 12x$
$l = 13x$

Вычислим разность радиусов:
$R - r = 32 - 12 = 20$ см

Подставим все известные значения в формулу теоремы Пифагора и найдем $x$:
$(13x)^2 = (12x)^2 + 20^2$
$169x^2 = 144x^2 + 400$
$169x^2 - 144x^2 = 400$
$25x^2 = 400$
$x^2 = \frac{400}{25}$
$x^2 = 16$
$x = 4$ (так как длина отрезка — положительная величина).

Теперь можем найти точные значения высоты и образующей:
$h = 12x = 12 \cdot 4 = 48$ см
$l = 13x = 13 \cdot 4 = 52$ см

Имея все необходимые данные, можем вычислить боковую поверхность и объем конуса.

Боковая поверхность

Площадь боковой поверхности усеченного конуса находится по формуле:
$S_{бок} = \pi(R+r)l$
Подставим наши значения:
$S_{бок} = \pi(32 + 12) \cdot 52 = \pi \cdot 44 \cdot 52 = 2288\pi$ см².
Ответ: $2288\pi$ см².

Объем

Объем усеченного конуса находится по формуле:
$V = \frac{1}{3}\pi h(R^2 + Rr + r^2)$
Подставим наши значения:
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 48 \cdot (32^2 + 32 \cdot 12 + 12^2)$
$V = 16\pi \cdot (1024 + 384 + 144)$
$V = 16\pi \cdot (1552)$
$V = 24832\pi$ см³.
Ответ: $24832\pi$ см³.