Номер 558, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

558. Диагональ осевого сечения усеченного конуса разделяется осью на отрезки длинами 55 см и 20 см. Найдите площадь осевого сечения этого конуса, учитывая, что образующая равна 53 см.

Осевое сечение усеченного конуса — это равнобедренная трапеция. Пусть радиусы оснований конуса равны $R$ и $r$ ($R > r$), высота равна $h$, а образующая равна $l$. Тогда основания трапеции равны $2R$ и $2r$, боковая сторона равна $l$, а высота равна $h$.

1. Анализ условия задачи
По условию, образующая $l = 53$ см. Диагональ осевого сечения (трапеции) делится осью конуса (которая также является средней линией трапеции, соединяющей середины оснований) на отрезки длиной 55 см и 20 см. Общая длина диагонали $d$ равна: $d = 55 + 20 = 75$ см.

2. Нахождение соотношения между радиусами
Ось конуса делит диагональ в точке их пересечения. Эта точка делит диагональ на отрезки, которые пропорциональны радиусам оснований. Рассмотрим два подобных прямоугольных треугольника, образованных осью, радиусами и частями диагонали. Из подобия этих треугольников следует, что отношение радиусов равно отношению отрезков диагонали: $\frac{R}{r} = \frac{55}{20} = \frac{11}{4}$
Отсюда получаем соотношение: $R = \frac{11}{4}r$.

3. Составление системы уравнений
Для нахождения неизвестных величин воспользуемся теоремой Пифагора для двух прямоугольных треугольников внутри трапеции.
Первый треугольник: образован высотой $h$, образующей $l$ и отрезком на большем основании, равным разности радиусов $(R-r)$. $l^2 = h^2 + (R-r)^2$
$53^2 = h^2 + (R-r)^2$ (1)
Второй треугольник: образован высотой $h$, диагональю $d$ и отрезком на большем основании, равным сумме радиусов $(R+r)$. $d^2 = h^2 + (R+r)^2$
$75^2 = h^2 + (R+r)^2$ (2)

4. Решение системы уравнений
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2): $75^2 - 53^2 = (h^2 + (R+r)^2) - (h^2 + (R-r)^2)$
$75^2 - 53^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2$
Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $(75 - 53)(75 + 53) = (R^2 + 2Rr + r^2) - (R^2 - 2Rr + r^2)$
$22 \cdot 128 = 4Rr$
$2816 = 4Rr$
$Rr = 704$
Теперь подставим в это равенство соотношение $R = \frac{11}{4}r$: $(\frac{11}{4}r) \cdot r = 704$
$\frac{11}{4}r^2 = 704$
$r^2 = \frac{704 \cdot 4}{11} = 64 \cdot 4 = 256$
$r = \sqrt{256} = 16$ см.
Тогда $R = \frac{11}{4} \cdot 16 = 11 \cdot 4 = 44$ см.

5. Нахождение высоты
Теперь, зная радиусы, найдем высоту $h$ из уравнения (2): $75^2 = h^2 + (44+16)^2$
$75^2 = h^2 + 60^2$
$5625 = h^2 + 3600$
$h^2 = 5625 - 3600 = 2025$
$h = \sqrt{2025} = 45$ см.

6. Вычисление площади осевого сечения
Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{2R + 2r}{2} \cdot h = (R+r)h$
Подставим найденные значения: $S = (44 + 16) \cdot 45 = 60 \cdot 45 = 2700$ см².

Ответ: 2700 см².