Номер 554, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

554. Выразите объем усеченного конуса как функцию его высоты $H$ и длин $C$ и $c$ с окружностей оснований.

Объем усеченного конуса $V$ с высотой $H$ и радиусами оснований $R$ (большее основание) и $r$ (меньшее основание) вычисляется по формуле:

$$ V = \frac{1}{3} \pi H (R^2 + Rr + r^2) $$

По условию задачи, нам даны длины окружностей оснований: $C$ для большего основания и $c$ для меньшего. Длина окружности связана с ее радиусом следующей формулой:

Для большего основания: $C = 2\pi R$.

Для меньшего основания: $c = 2\pi r$.

Выразим радиусы $R$ и $r$ через длины окружностей $C$ и $c$:

$$ R = \frac{C}{2\pi} $$

$$ r = \frac{c}{2\pi} $$

Теперь подставим эти выражения для радиусов в формулу объема усеченного конуса:

$$ V = \frac{1}{3} \pi H \left( \left(\frac{C}{2\pi}\right)^2 + \left(\frac{C}{2\pi}\right)\left(\frac{c}{2\pi}\right) + \left(\frac{c}{2\pi}\right)^2 \right) $$

Упростим выражение в скобках:

$$ V = \frac{1}{3} \pi H \left( \frac{C^2}{4\pi^2} + \frac{Cc}{4\pi^2} + \frac{c^2}{4\pi^2} \right) $$

Вынесем общий знаменатель $4\pi^2$ за скобки:

$$ V = \frac{1}{3} \pi H \frac{C^2 + Cc + c^2}{4\pi^2} $$

Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе и перемножим числовые коэффициенты:

$$ V = \frac{H}{12\pi} (C^2 + Cc + c^2) $$

Это и есть искомая формула, выражающая объем усеченного конуса через его высоту $H$ и длины окружностей оснований $C$ и $c$.

Ответ: $V = \frac{H}{12\pi}(C^2 + Cc + c^2)$