Номер 550, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

550. Можно ли вписать в конус четырехугольную пирамиду, углы основания которой относятся как:

а) $1 : 3 : 5 : 7;$

б) $3 : 5 : 8 : 6?$

Для того чтобы четырехугольную пирамиду можно было вписать в конус, ее основание (четырехугольник) должно быть вписано в окружность (основание конуса). Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Поскольку сумма всех углов четырехугольника равна $360^\circ$, это равносильно тому, что суммы обеих пар противолежащих углов равны $180^\circ$.

Пусть углы четырехугольника пропорциональны числам $r_1, r_2, r_3, r_4$. Тогда сами углы равны $r_1 k, r_2 k, r_3 k, r_4 k$ для некоторого коэффициента $k$. Условие для вписанного четырехугольника означает, что мы можем разбить эти углы на две пары, сумма в каждой из которых равна $180^\circ$. Это, в свою очередь, означает, что соответствующие части отношения также можно разбить на две пары с одинаковой суммой. Эта сумма должна быть равна половине общей суммы частей $S = r_1+r_2+r_3+r_4$.

а)

Дано отношение углов $1 : 3 : 5 : 7$. Части отношения: $1, 3, 5, 7$.

Сумма частей: $S = 1+3+5+7=16$.

Проверим, можно ли разбить эти числа на две пары, сумма в каждой из которых равна $S/2 = 16/2 = 8$.

$1 + 7 = 8$

$3 + 5 = 8$

Такое разбиение возможно. Следовательно, четырехугольник с такими углами можно вписать в окружность, а пирамиду — в конус.

Ответ: можно.

б)

Дано отношение углов $3 : 5 : 8 : 6$. Части отношения: $3, 5, 8, 6$.

Сумма частей: $S = 3+5+8+6=22$.

Проверим, можно ли разбить эти числа на две пары, сумма в каждой из которых равна $S/2 = 22/2 = 11$.

$3 + 8 = 11$

$5 + 6 = 11$

Такое разбиение возможно. Следовательно, четырехугольник с такими углами можно вписать в окружность, а пирамиду — в конус.

Ответ: можно.