Номер 543, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

543. Образующая усеченного конуса относится к его высоте как $37:35$, радиусы оснований равны 5 см и 17 см. Найдите полную поверхность этого конуса.

Пусть $l$ — образующая усеченного конуса, $h$ — его высота, $R$ и $r$ — радиусы большего и меньшего оснований соответственно.

Согласно условию задачи, нам даны:

• Отношение образующей к высоте: $\frac{l}{h} = \frac{37}{35}$.
• Радиус большего основания: $R = 17$ см.
• Радиус меньшего основания: $r = 5$ см.

Формула для нахождения полной поверхности усеченного конуса: $S_{полн} = S_{бок} + S_{верх} + S_{нижн}$, где $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности, а $S_{верх}$ и $S_{нижн}$ — площади верхнего и нижнего оснований. Формулы для этих площадей:

$S_{верх} = \pi r^2$

$S_{нижн} = \pi R^2$

$S_{бок} = \pi (R+r)l$

Таким образом, общая формула для полной поверхности выглядит так:

$S_{полн} = \pi R^2 + \pi r^2 + \pi(R+r)l$

Для вычисления площади нам необходимо найти длину образующей $l$. Связь между образующей, высотой и радиусами оснований усеченного конуса можно найти, рассмотрев его осевое сечение. Осевое сечение представляет собой равнобедренную трапецию, у которой высота равна $h$, а боковая сторона равна $l$. Если из вершины меньшего основания трапеции опустить перпендикуляр на большее основание, образуется прямоугольный треугольник. Катетами этого треугольника будут высота $h$ и разность радиусов $R-r$, а гипотенузой — образующая $l$.

По теореме Пифагора:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Из заданного соотношения $\frac{l}{h} = \frac{37}{35}$ введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $l = 37x$ и $h = 35x$.

Найдем разность радиусов:

$R-r = 17 - 5 = 12$ см.

Подставим известные величины в уравнение теоремы Пифагора:

$(37x)^2 = (35x)^2 + 12^2$

$1369x^2 = 1225x^2 + 144$

$1369x^2 - 1225x^2 = 144$

$144x^2 = 144$

$x^2 = 1$

Поскольку длина должна быть положительной, $x = 1$.

Теперь найдем длину образующей $l$:

$l = 37x = 37 \cdot 1 = 37$ см.

Теперь мы можем вычислить полную поверхность конуса, подставив все известные значения в формулу:

$S_{полн} = \pi \cdot 17^2 + \pi \cdot 5^2 + \pi(17+5) \cdot 37$

$S_{полн} = 289\pi + 25\pi + \pi \cdot 22 \cdot 37$

$S_{полн} = 289\pi + 25\pi + 814\pi$

$S_{полн} = (289 + 25 + 814)\pi$

$S_{полн} = 1128\pi$ см$^2$.

Ответ: $1128\pi$ см$^2$.