Номер 539, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

539. Найдите объем конуса, учитывая, что его осевое сечение имеет площадь $S$ и боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом $\alpha$.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, его высоту как $H$, а образующую (боковое ребро) как $L$.

Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, основание которого равно диаметру основания конуса ($2R$), а боковые стороны равны образующей ($L$). Высота этого треугольника совпадает с высотой конуса $H$. Площадь этого сечения $S$ равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания — это угол $\alpha$ между образующей $L$ и радиусом $R$ в прямоугольном треугольнике, образованном высотой $H$, радиусом $R$ и образующей $L$. В этом треугольнике $H$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, а $R$ — катетом, прилежащим к этому углу. Следовательно, их отношение равно тангенсу угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{R}$

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений для нахождения $R$ и $H$ через известные $S$ и $\alpha$:

$\begin{cases} RH = S \\ \frac{H}{R} = \tan(\alpha) \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $H$: $H = R \tan(\alpha)$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$R \cdot (R \tan(\alpha)) = S$

$R^2 \tan(\alpha) = S$

Отсюда находим квадрат радиуса $R^2$:

$R^2 = \frac{S}{\tan(\alpha)} = S \cot(\alpha)$

Теперь найдем высоту $H$. Можно из первого уравнения выразить $R = \frac{S}{H}$ и подставить во второе:

$\frac{H}{S/H} = \tan(\alpha) \implies \frac{H^2}{S} = \tan(\alpha)$

$H^2 = S \tan(\alpha) \implies H = \sqrt{S \tan(\alpha)}$

Объем конуса вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Подставим найденные выражения для $R^2$ и $H$:

$V = \frac{1}{3} \pi (S \cot(\alpha)) (\sqrt{S \tan(\alpha)})$

Упростим полученное выражение:

$V = \frac{1}{3} \pi S \cot(\alpha) \sqrt{S} \sqrt{\tan(\alpha)} = \frac{1}{3} \pi S \sqrt{S} \cdot \frac{\cot(\alpha)}{\sqrt{\cot(\alpha)}} = \frac{1}{3} \pi S \sqrt{S} \sqrt{\cot(\alpha)} = \frac{1}{3} \pi S \sqrt{S \cot(\alpha)}$

Ответ: $V = \frac{1}{3} \pi S \sqrt{S \cot(\alpha)}$