Номер 533, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

533. Найдите объем конуса, его боковую и полную поверхности, учитывая, что его высота равна 10 см и составляет с образующей угол 60°.

Пусть $h$ — высота конуса, $r$ — радиус его основания, а $l$ — образующая. Из условия задачи нам дано, что высота $h = 10$ см, а угол $\alpha$ между высотой и образующей равен $60^\circ$.

Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, в котором высота $h$ и радиус $r$ являются катетами, а образующая $l$ — гипотенузой. Угол между катетом $h$ и гипотенузой $l$ равен $\alpha = 60^\circ$.

Найдем радиус основания $r$ и длину образующей $l$ из этого прямоугольного треугольника, используя тригонометрические соотношения:

• Радиус $r$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$, поэтому:
  $r = h \cdot \tan(\alpha) = 10 \cdot \tan(60^\circ) = 10\sqrt{3}$ см.

• Образующая $l$ является гипотенузой, а высота $h$ — прилежащим к углу $\alpha$ катетом, поэтому:
  $l = \frac{h}{\cos(\alpha)} = \frac{10}{\cos(60^\circ)} = \frac{10}{1/2} = 20$ см.

Теперь, имея все необходимые параметры ($h=10$ см, $r=10\sqrt{3}$ см, $l=20$ см), мы можем вычислить объем, боковую и полную поверхности конуса.

Объем конуса

Объем конуса ($V$) вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Подставляем наши значения:

$V = \frac{1}{3} \pi (10\sqrt{3})^2 \cdot 10 = \frac{1}{3} \pi (100 \cdot 3) \cdot 10 = \frac{1}{3} \pi \cdot 300 \cdot 10 = 100 \pi \cdot 10 = 1000\pi$ см³.

Ответ: $1000\pi$ см³.

Боковая поверхность конуса

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi r l$

Подставляем наши значения:

$S_{бок} = \pi \cdot 10\sqrt{3} \cdot 20 = 200\sqrt{3}\pi$ см².

Ответ: $200\sqrt{3}\pi$ см².

Полная поверхность конуса

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) конуса — это сумма площади боковой поверхности и площади основания ($S_{осн} = \pi r^2$).

$S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = \pi r l + \pi r^2 = \pi r (l + r)$

Подставляем наши значения:

$S_{полн} = 200\sqrt{3}\pi + \pi (10\sqrt{3})^2 = 200\sqrt{3}\pi + \pi (100 \cdot 3) = 200\sqrt{3}\pi + 300\pi = 100\pi(2\sqrt{3} + 3)$ см².

Ответ: $100\pi(3 + 2\sqrt{3})$ см².