Номер 526, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

526. Радиус основания конуса равен 12 см, высота — 10 см. Найдите наибольшую площадь сечения, проходящего через вершину конуса.

Сечение конуса, проходящее через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник. Боковыми сторонами этого треугольника являются образующие конуса, а основанием — хорда окружности, лежащей в основании конуса. Площадь такого сечения зависит от длины этой хорды.

Обозначим радиус основания конуса как $R$, а высоту конуса — $H$. По условию задачи, $R = 12$ см и $H = 10$ см.

Пусть основанием треугольного сечения является хорда длиной $a$. Высота этого треугольника, опущенная из вершины конуса на хорду, обозначим как $h_s$. Тогда площадь сечения $S$ равна: $S = \frac{1}{2} a h_s$.

Выразим $h_s$ через известные величины. Высота $h_s$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого служат высота конуса $H$ и расстояние $d$ от центра основания конуса до хорды $a$. Таким образом, $h_s^2 = H^2 + d^2$.

В свою очередь, расстояние $d$ связано с радиусом $R$ и половиной хорды $\frac{a}{2}$ соотношением из теоремы Пифагора для треугольника в основании конуса: $R^2 = d^2 + (\frac{a}{2})^2$, откуда $d^2 = R^2 - \frac{a^2}{4}$.

Подставив $d^2$ в выражение для $h_s^2$, получим: $h_s^2 = H^2 + R^2 - \frac{a^2}{4}$.

Теперь мы можем выразить площадь сечения как функцию от длины хорды $a$: $S(a) = \frac{1}{2} a \sqrt{H^2 + R^2 - \frac{a^2}{4}}$.

Чтобы найти максимальное значение этой функции, удобно исследовать на максимум её квадрат, $S^2(a)$, так как это позволяет избавиться от квадратного корня и не меняет точку экстремума: $S^2(a) = \frac{a^2}{4} \left( H^2 + R^2 - \frac{a^2}{4} \right)$.

Введем новую переменную $x = \frac{a^2}{4}$. Так как длина хорды $a$ может меняться от $0$ до $2R$ (диаметр), переменная $x$ изменяется в пределах от $0$ до $R^2$. Функция для квадрата площади примет вид: $f(x) = x(H^2 + R^2 - x) = -x^2 + (H^2 + R^2)x$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины $x_v$ находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$: $x_v = \frac{-(H^2 + R^2)}{2(-1)} = \frac{H^2 + R^2}{2}$.

Этот экстремум является максимумом для функции на всей числовой оси. Чтобы он был максимумом на отрезке $[0, R^2]$, необходимо, чтобы $x_v$ принадлежал этому отрезку. Проверим условие $x_v \le R^2$: $\frac{H^2 + R^2}{2} \le R^2 \implies H^2 + R^2 \le 2R^2 \implies H^2 \le R^2 \implies H \le R$.

В нашей задаче $H = 10$ см и $R = 12$ см. Условие $10 \le 12$ выполняется. Значит, максимальная площадь сечения достигается при $x = x_v = \frac{H^2 + R^2}{2}$.

Найдем максимальное значение квадрата площади, подставив $x_v$ в $f(x)$: $S_{max}^2 = \frac{H^2 + R^2}{2} \left( H^2 + R^2 - \frac{H^2 + R^2}{2} \right) = \frac{H^2 + R^2}{2} \cdot \frac{H^2 + R^2}{2} = \left( \frac{H^2 + R^2}{2} \right)^2$.

Следовательно, наибольшая площадь сечения равна: $S_{max} = \frac{H^2 + R^2}{2}$.

Подставим данные из условия задачи: $S_{max} = \frac{10^2 + 12^2}{2} = \frac{100 + 144}{2} = \frac{244}{2} = 122$ см².

Ответ: $122$ см².