Номер 522, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

522. Основанием пирамиды $ABCD$ является прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$, все боковые ребра равны $l$ (рис. 177). Найдите длину отрезка $AO$, учитывая, что $AO = BO = CO = DO$.

Рис. 177

По условию задачи, точка O равноудалена от всех вершин пирамиды ABCD: $AO = BO = CO = DO$. Это означает, что точка O является центром сферы, описанной около пирамиды, а искомая длина отрезка AO — это радиус R этой сферы.

Также по условию все боковые ребра пирамиды равны $l$: $AD = BD = CD = l$. Это свойство означает, что вершина пирамиды D проецируется в центр окружности, описанной около основания ABC. Обозначим этот центр $O_1$. Таким образом, $DO_1$ — высота пирамиды H.

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник ABC с катетами $a$ и $b$. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы AB. Радиус $r_c$ этой окружности равен половине длины гипотенузы.

Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора:
$AB = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Следовательно, радиус описанной около основания окружности равен:
$r_c = O_1A = O_1B = O_1C = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADO_1$ (угол $\angle DO_1A = 90^\circ$). Его катеты — это высота пирамиды $H = DO_1$ и радиус описанной окружности основания $r_c = O_1A$, а гипотенуза — боковое ребро $l = AD$.

По теореме Пифагора найдем высоту пирамиды H:
$H^2 = AD^2 - O_1A^2 = l^2 - r_c^2 = l^2 - \left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2 = l^2 - \frac{a^2+b^2}{4}$.
$H = \sqrt{l^2 - \frac{a^2+b^2}{4}} = \frac{\sqrt{4l^2 - a^2 - b^2}}{2}$.

Центр O описанной сферы лежит на высоте пирамиды $DO_1$. Точка O равноудалена от вершин A и D, то есть $OA = OD = R$. Следовательно, точка O также лежит на серединном перпендикуляре к боковому ребру AD.

Пусть M — середина ребра AD. Тогда OM — серединный перпендикуляр к AD, и $\triangle OMD$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при M. Рассмотрим треугольники $\triangle DMO$ и $\triangle DO_1A$. Они подобны по общему острому углу при вершине D и прямым углам ($\angle DMO = 90^\circ$ и $\angle DO_1A = 90^\circ$).

Из подобия треугольников следует соотношение их сторон:
$\frac{DO}{DA} = \frac{DM}{DO_1}$.

Подставим известные величины: $DO = R$ (искомый радиус), $DA = l$, $DM = \frac{AD}{2} = \frac{l}{2}$, $DO_1 = H$.
$\frac{R}{l} = \frac{l/2}{H}$.

Выразим отсюда R:
$R \cdot H = l \cdot \frac{l}{2} \Rightarrow R = \frac{l^2}{2H}$.

Теперь подставим найденное ранее выражение для высоты H:
$R = \frac{l^2}{2 \cdot \frac{\sqrt{4l^2 - a^2 - b^2}}{2}} = \frac{l^2}{\sqrt{4l^2 - a^2 - b^2}}$.

Таким образом, искомая длина отрезка AO равна R.

Ответ: $AO = \frac{l^2}{\sqrt{4l^2 - a^2 - b^2}}$.